Розв’язання

Зразки розв’язування задач

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Нехай крива задана рівнянням , , причому неперервна разом із своєю похідною на . Тоді довжина дуги кривої визначається формулою

. (27.7)

Вираз називається диференціалом дуги. В разі, коли крива задається рівнянням довжина дуги кривої обчислюється так:

. (27.8)

У разі параметричного задання кривої , довжина дуги дорівнює:

. (27.9)

Якщо ж гладка крива задана рівнянням в полярних координатах, то

. (27.10)

1. Знайти довжину кола.

Візьмемо коло радіуса з центром в початку координат. Його рівняння .

Щоб використати формулу (27.7) знайдемо . Знак плюс відповідає верхній половині кола, знак мінус – нижній.

Знайдемо довжину чверті кола, що лежить в першій координатній чверті. Обчислимо вираз .

Маємо: , , тоді , тобто .

Абсциса точки кола в першій чверті змінюється від до . Тоді . Довжина кола .

Розв’яжемо цю ж задачу, якщо коло задано параметричними рівняннями:

.

Щоб застосувати формулу (3.9) обчислимо .

.

На всьому колі параметр змінюється від до . Тому

.

Ще більш простим буде розв’язування цієї задачі, якщо рівняння кола задати у полярних координатах. Покладемо , . Рівняння кола: , , тобто , звідки .

Полярна вісь співпадає з додатнім напрямком осі , а полярний кут , коли точка пробігає все коло, змінюється від до . За формулою (3.10):

2. Знайти довжину ланцюгової лінії між точками з абсцисами і .