Означення неперервної кривої. Спрямлювана крива. Застосування визначеного інтеграла до обчислення довжини плоскої кривої.
Завдання для самостійної роботи
Обчислити площі фігур, обмежених лініями:
1. 
, 
;
2. 
, 
, 
, 
;
3. 
, 
;
4. 
, 
, 
;
5. 
, 
, 
;
6. 
7. 
8. 
, 
;
9. 
.
Обчислити площу фігури, обмеженої лініями.
1. 
, 
Відповідь. 
.
2. 
, 
Відповідь. 
.
3. 
Відповідь. 
4. 
, 
Відповідь. 
.
5. 
, 
Відповідь. 
.
Нехай плоска крива А˘В (рис.1)
задана параметрично х = х(t), у = у(t), α ≤ t ≤ β, де х = х(t), у = у(t) – неперервні функції на відрізку [α; β], причому точка А відповідає значенню параметра
t = α, а точка В – значенню параметра t = β.
Розібємо відрізок [α; β] на n частин точками
α = t0 < t1 < … < tк < tк + 1 <…< tn = β .
Сукупність точок t0, t1, tn називатимемо Т – розбиттям відрізка [α; β]. Кожному значенню параметра t = tn, k = 0, 1, …,n – 1, на кривій А˘В відповідає точка Мк. Сполучимо ці точки відрізками прямої. В результаті дістанемо, що в криву А˘В вписано ламану лінію. Позначимо периметр цієї ламаної лінії через
Р = 
Мк Мк+1.
Зрозуміло, що периметр Р залежить від розбиття Т:
Р = Р(Т).
Найбільшу довжину частинного відрізка [tК; tк+1] позначимо через
λ(Т) = mах(tк+1 - t к ). Якщо λ(Т) → 0, то внаслідок неперервності функцій
х = х(t), у = у(t) найбільша довжина сторонни ламаної також наближатиметься до нуля.
Означення 1.Число S називають границею периметра Р = Р(Т) ламаної лінії, вписаної в криву А˘В при λ(Т) → 0, якщо для будь – якого ε > 0 існує число
δ >0, яке не залежить від розбиття Т і таке, що як тільки λ(Т) <δ, то
|Р(Т) - S| <ε
і позначають
S = 
Р(Т).
Означення 2.Якщо існує границя периметра ламаної лінії, вписаної в кривуА˘В при λ(Т) → 0, то криву А˘В називають спрямлюваною, а саму границю (число S) називають довжиною дуги кривоїА˘В.
Зауважимо, що це означення стосується незамкнених кривих (точка А не збігається з точкою В).