Розв’язання

Розв’язання

.

Вся площа кв. од.

12.Обчислити площу однієї пелюстки рози, яка задається рівнянням .

Зауваження.

Зазначимо, що криві задані рівняннями (або ), де та - постійні величини, називаються розами. Якщо - парне число, то крива має - пелюсток, якщо - непарне число, то крива має - пелюсток.

Щоб знайти площу однієї пелюстки, визначимо, як змінюється полярний кут , коли радіус-вектор описує цю площу.

Нехай . Тоді , звідки .

При , при . Тобто кут змінюється від до .

Повернемось до нашого прикладу: - 3-х пелюсткова роза.

Описуючи площу однієї пелюстки, радіус-вектор пробігає кут від до .

Тоді

кв. од.

13.Обчислити площу, обмежену петлею декартового листа, який визначається рівнянням .

Для обчислення площі перейдемо до полярних координат, поклавши , .

Отримаємо: ,

,

.

Так як при заміні на , а на рівняння на змінюється, то крива симетрична відносно прямої . Тому шукану площу можна розглядати як подвоєну площу . При цьому радіус-вектор повертається від початкового положення на кут . Отже,

.

Винесемо в знаменнику за дужки:

.

Зробимо заміну , .

Нові межі інтегрування: , .

Отже, .

Ще раз зробимо заміну , , , .

Тоді: .

Отримаємо: кв. од.