Розв’язання
Розв’язання
Розв’язання
Поглянемо на вигляд цієї кривої.
Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:
кв. од.
Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.
10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,
.
Наведемо вигляд цієї кривої.
Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .
Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).
Обчислимо : .
Тоді
.
Отримаємо: кв. од.
Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.
11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .
Прослідкуємо, як змінюється кут , коли радіус-вектор точки на лемніскаті описує чверть шуканої площі.
При , . Визна-чимо, чому дорівнює кут , коли радіус-вектор дорівнюватиме . Підставляючи в рівняння кривої, отримаємо: , , , звідки .
Таким чином, на чверті площі полярний кут змінюється в межах від до . Тоді за формулою (3.6):