Застосування визначеного інтеграла до до обчислення площ плоских областей.
Лекція № 27
Розв’язання
а) Маємо , .Тоді , .
Отже, за формулою (22) дістаємо
б) Застосовуємо спочатку підстановку . Тоді , і
.
До інтеграла в правій частині застосуємо формулу інтегрування. Нехай
, .
Тоді , .
Отже,
Тема: Застосування визначеного інтеграла до до обчислення площ плоских областей. Означення неперервної кривої. Спрямлювана крива. Застосування визначеного інтеграла до обчислення довжини плоскої кривої.
План лекції:
§1.Застосування визначеного інтеграла до до обчислення площ плоских областей.
§ 2. Означення неперервної кривої. Спрямлювана крива. Застосування визначеного інтеграла до обчислення довжини плоскої кривої.
1). Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат
Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.
І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 1). Функція — неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .
Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 2),
(27.1)
Рис. 1 | Рис. 2 | Рис. 3 |
ΙΙ. Нехай фігура обмежена лініями (рис. 3). Функція — неперервна та Площа S такої фігури буде
(27.2)
Визначений інтеграл від додатної неперервної функції , заданої на відрізку , чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції і прямими (рис. 3.1):
. (27.1)
В разі, коли на (рис.3.2)
. (27.3)
|
|
|
Якщо функція на відрізку скінчене число разів змінює знак, то
.
Площу фігури, обмеженої кривими та і прямими за умови, що (рис.3.3) знаходять за формулою
. (27.4)
У випадку, коли фігура обмежена кривою та прямими (рис.3.4), її площу знаходять за формулою
. (27.5)
Якщо крива задана параметричними рівняннями , де - неперервні функції, що мають неперервні похідні на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими та відрізком осі , визначається за формулою:
, (27.6)
де і - значення параметра , при яких .
|
|
У полярній системі координат площа криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою ,
та відповідними відрізками променів (рис. 3.5), дорівнює
. (27.7)
|