Приклади
Формула інтегрування частинами
Розв’язання
Приклади
Обчислити інтеграли:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) Застосовуємо підстановку , де .
Знайдемо межі для змінної (табл.2). Тоді ,
.
б) Застосовуємо підстановку
.
Таблиця 2 Таблиця 3 Таблиця 4
Знайдемо межі по (табл.3).
Тоді . Отже,
.
в) Застосовуємо формулу
.
Тоді .
Нехай . Знайдемо межі по (табл.4). Тоді .
Отже, .
г) Оскільки функція парна, то
.
При обчисленні визначених інтегралів часто користуються формулою інтегрування частинами:
. (22)
Виведемо цю формулу. Нехай функції і мають на відрізку неперервні похідні і .
Знайдемо похідну добутку
.
Тоді функція є первісною для функції .
Згідно з формулою Ньютона - Лейбніца
.
До інтеграла у лівій частині цієї рівності застосовуємо властивість визначеного інтеграла:
,
або
.
Звідси й дістаємо формулу (22).
Обчислити визначений інтеграл
а) ; б) .