Теорема про існування первісної функції.

Визначений інтеграл із змінною верхньою межею.

Лекція № 26

Тема: Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - Лейбніца. Заміна змінної у визначеному інтегралі. Формула інтегрування частинами.

План лекції:

§1.Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Теорема про існування первісної функції.

§ 2. Формула Ньютона – Лейбніца.

§3. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

§4. Формула інтегрування частинами.

Розглянемо одну з основних теорем інтегрального числення, а саме, що всяка неперервна на відрізку [a; b] функція має первісну, та знайдемо спосіб обчислення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку [a; b] задана неперервна функція f(x). Ця функція інтегрована на будь-якому відрізку [a; x], де а≤x≤b. Отже, існує визначений інтеграл який називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією вію х. Позначимо його через

(16)

Оскільки визначений інтеграл не залежить від змінної інтегрування, то щоб не плутати з верхньою межею, ми через f позначили змінну інтегрування.

Л е м а.Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b], то функція

також неперервна на цьому відрізку.

Д о в е д е н н я. Нехай х - довільна точка відрізка [a; b]. Надамо х довільного приросту h такого, щоб x+h [a; b]. Знайдемо приріст функції Ф(х) у точці х

Застосуємо до першого інтеграла властивість визначеного інтеграла. Матимемо

До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє:

, (17)

Маємо:

Це означає, що функція Ф(х) є неперервною в точці х. Оскільки х - довільна точка відрізка [a; b], то Ф(х) неперервна в кожній точці цього відрізка. Лему доведено.