Теорема про середнє значення визначеного інтеграла

Теорема 1. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a; b], то справджуються нерівності

(11)

де М і m – деякі числа.

Д о в е д е н н я. Оскільки функція f(x) інтегрована, на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа М і m, що

, x є [a; b],

Користуючись властивістю визначеного інтеграла, маємо

Підставляючи в ці нерівності значення інтегралів,

дістанемо нерівність (11). Зауважимо, що нерівності (11) можна записати у вигляді рівності. Для цього члени нерівностей (11) поділимо на число b-a і введемо позначення

Тоді матимемо таку рівність:

де m≤µ≤M.

Н а с л і д о к. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b], то існує точка с [a; b] така, що виконується рівність

(12)

Справді, за теоремою Вейєрштрасса неперервна на відрізку [a; b] функція набуває свого найменшого і найбільшого значень, відповідно m і М. Тоді за теоремою про проміжне значення неперервної функції існує хоча б одна точка с [a; b], в якій функція дорівнює числу µ.

Цей наслідок називають ще т е о р е м о ю п р о с е р е д н є

з н а ч е н н я в и з н а ч е н о г о і н т е г р а л а від неперервної функції.

З’ясуємо геометричний зміст цієї теореми. Припустимо, що функція f(x)>0 і неперервна на відрізку [a; b]. Тоді інтеграл виражає площу криволінійної трапеції (рис. 48). Добуток f(c)(b-a) є площа прямокутника з основою b-a і висотою f(c).

Отже, згідно з рівністю (12), на кривій, яка є графіком функції f(x), знайдеться хоча б одна точка М така, що площа криволінійної трапеції дорівнює площі прямокутника з тією самою основою, а висота його дорівнює ординаті точки М. У цьому полягає геометричний зміст теореми про середнє для неперервної функції.

Т е о р е м а 2. Нехай функції f(x) i g(x) визначені і неперервні на відрізку

[a; b], причому g(x) на відрузку [a; b] не змінює знака, g(x)≥0 або g(x)≤0.

Тоді існує таке число с [a; b], що

(13)

Д о в е д е н н я. Нехай g(x) набуває на відрізку [a; b] невід’ємних значень. Тоді

mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),

Де m, М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку

[a; b]. Функція f(x) g(x) неперервна на відрізку [a; b], отже, вона інтегрована на цьому відрізку. Тоді маємо

Якщо , то рівність (13) справджується, бо тоді

. Отже, рівність (13) справедлива при будь-якому f(c). Теорему доведено.

Якщо , то поділивши всі члени попередньої нерівності на , дістанемо

Введемо позначення

Тоді

де m≤µ≤M. Оскільки f(x) є неперервною на відрізку [a; b], то

iснує така точка с (a; b), що f(c)=µ. Теорему доведено.

Зауважимо, що теорема 1 є окремим випадком теореми 2. Справді, припустивши в теоремі 2, що g(x)=1, матимемо теорему 1.

Назва теореми 1 як інтегральної теореми про середнє пояснюється тим, що в даному разі стверджується існування деякої точки, яка міститься всередині відрізка і має певну властивість, пов’язану з визначеним інтегралом функції.

Теорему 2 називають у з а г а л ь н е н о ю т е о р е м о ю п р о

с е р е д н є .

Ми розглянули випадок, коли a<b. Теореми 1,2 залишаються справедливими й тоді, коли a>b.

Наприкінці зауважимо, що число

(14)

називають с е р е д н і м з н а ч е н н я м ф у н к ц і ї f(x) на відрізку [a; b].

ПРИКЛАД

Знайти середнє значення функції на відрізку [0; 2].

Р о з в’ я з а н н я. Застосуємо формулу (14). Для цього обчислимо інтеграл

(15)

Перший інтеграл в правій частині рівності (15) вражає площу трикутника ОАВ (рис. 49), а другий – площу під параболою (рис. 50). Отже,

Тоді

Лекція 25

Матеріал для самостійного опрацювання

Основні властивості визначеного інтеграла

Будемо вважати, що всі функції на проміжках інтегрування є інтегралами.

1⁰. Значення визначеного інтеграла не залежить від значення змінної інтегрування.

(1)

Це випливає з означення інтегралу як числа, що дорівнює границі інтегральних сум.

2⁰. (2)

3⁰.

(3)

4⁰.

(4)

Нехай a<c<b. Так як границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [а;b], то будимо проводити розбиття так, щоб точка с завжди була точкою розбиття. Якщо c=x_m, то