Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

Лекція № 25

Інтеграл Рімана. Невласні інтеграли.

Тема: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення інтеграла Рімана. Властивості сум Дарбу. Критерій інтегровності функції. Класи інтегровних функцій.

План лекції:

§ 1 Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

§ 2 Означення інтеграла Рімана.

§ 3 Властивості сум Дарбу. Критерій інтегровності функції.

§ 4 Класи інтегровних функцій.

1. Задача про площу криволінійної трапеції.

 


Нехай в площині XOY дано фігуру ABCD, обмежену відрізком [а;b] осі OX, прямими х=а, х=b і кривою y=f(x), де f(x) – неперервна , невід’ємна на відрізку [а;b] функція.

Така фігура називається криволінійною трапецією з основою [а;b].

Поставимо задачу: знайти площу криволінійної трапеції. Розіб’ємо відрізок [а;b] на n частин точками х0=а, х1, …, хn-1, хn=b (х0< х1<…<хn) і через точки поділу проведемо вертикальні прямі.

Тоді прямолінійна трапеція розіб’ється на n трапеції з основами [х0; х1], …, [хn-1; хn]. На кожній з основ візьмемо довільну точку ( ) і побудуємо прямокутники з основою [хі-1; хі] і висотою (і=1,…,n). Площа кожного прямокутника дорівнює ( хі;хі-1).

Розглянемо східчасту фігуру, складену з прямокутників з основами

[х0; х1], …, [хn-1; хn]; її площу, що дорівнює сумі

,

будемо вважати наближено рівною площі S криволінійної трапеції ABCD

За площу криволінійної трапеції природно взяти границю, до якої прямує площа побудованих таким чином ступінчастих фігур при необмеженому збільшенні числа відрізків і прямування до нуля довжин відрізків ділення.

Таким чином або

2. Задача про роботу змінної сили

Матеріальна точка переміщується під дією сили , що направлена вздовж осі ОХ з точки х=а в точку b (a<b). Припускаємо, що функція не перервна на відрізку [а;b].

Так, як і в попередньому пункті, розбиваємо відрізок [а;b] на n частин і в кожній з них візьмемо довільну точку .

Вважаючи силу F сталою на відрізку [хі-1; хі], одержимо наближене значення роботи А.

Точне значення роботи одержуємо при наближеному збільшенні числа відрізків і прямуванні до нуля довжин відрізків ділення.