Определение типа коники методом хорд и инженерного дискриминанта

Построить кусочек эллипса, параболу, гиперболу, как сечения кругового конуса.

 
 

Для тестирования метода хорд постройте дугу эллипса (ellipse). Дуги параболы и гиперболы “возьмите” с конуса или как результат ранее выполненного тестирования. Для нахождения центра коники установим ПСК в ее плоскость по трем точкам (ucs / 3…). Командами line или pline построим две пары параллельных хорд (рис. 1.11, а). Для каждой пары одна хорда строится произвольно, а вторая получается командой copy – это обеспечивает параллельность пары хорд. Концы хорд обрежем контуром коники командой trim или удлинним до коники командами extend и lengthen.

 
 

Строим отрезки (1‑2) и (3‑4), соединяющие середины (привязка Midpoint) параллельных хорд. Полученные отрезки следует удлиннить (lengthen). Вид коники определяем по взаимному положению отрезков и точке их пересечения. В случае эллипса отрезки пересекаются внутри кривой (рис. 1.11, а) в центре эллипса точке C. Для параболы центр отсутствует, построенные отрезки параллельны (рис. 1.11, б). Параллельность выявляется командой list по величине угла между отрезками и осью Х текущей ПСК. Для гиперболы отрезки пересекаются в ее центре точке С вне кривой (рис. 1.11, в).

Участки кривых, приведенные на рис. 1.11, близки по внешнему виду, но диагностика методом хорд уверенно распознает среди них эллипс, параболу и гиперболу.

 

Второй метод, позволяющий достаточно просто распознать вид коники – метод инженерного дискриминанта. Из произвольной точки T, расположенной вне коники (рис. 1.12), проводят две касательные прямые (line) к конике. Точки касания 1,2 находятся при применении объектной привязки Tangent. Если касание не обнаружено, то следует переместить точку Т ближе к конике. Затем точки касания соединяют отрезком прямой (line). Строим еще отрезок – медиану из точки T в среднюю точку M (привязка Midpoint) отрезка 1-2.

Отношение длин отрезков медианы называют дискриминантом коники. Для эллипса f < 0.5. Для параболы f = 0.5, то есть отрезок медианы в точке пересечения с коникой делится пополам. Для гиперболы f > 0.5. Интересно, что с величиной дискриминанта коник связаны их названия. В переводе с греческого “эллипс” – недостаток, “парабола” – равенство, “гипербола” избыток.