Дискретная СВ. Закон распределения вероятностей.
Понятие случайных величин (СВ)
Случайные величины и их распределения
Ограниченность введенных в лекции 1 понятий случайных событий, вероятности и действий над ними лишь простейшими схемами отображения реальных ситуаций очевидна. Поэтому аппарат “Событий” в современной ТВ не является основным. Он лишь создает необходимую теоретическую базу для перехода к более обобщенному, более основному понятию ТВ – понятию СВ, способам их описания и манипулирования с ними, которое боле адекватно отображает реальные процессы массовых случайных явлений и их проявляемые закономерности.
В чем заключена ограниченность:
1) событие, как результат опыта может появляться или не появляться, то есть характеристика качественная(!), в то время, как результаты реальных событий чаще всего могут характеризоваться совокупностью значений, выраженных числом из некоторой последовательности, интервала, совокупности…
2) Вероятность рассматривается лишь для случаев, т.е. равновозможных событий из состава полной группы. А это не всегда так!
3) Простейшая ‘Уровневая схема’ вычисления вер., далека от реальности.
Исторически понятием СВ начали пользоваться еще в 18 веке, но никто не пытался дать ему определения. Лишь к середине 19 в. этот термин появился, причем не был строго определен. На интуитивном уровне он просуществовал во всех учебниках до 20-х годов 20 в. И лишь в 30-х годах сформировалось четкое теоретико-множественное определение данное Колмогоровым. Мы дадим нестрогое определение случайным величинам, а затем конкретизируем их для СВ прерывного и непрерывного типа.
Случайной величиной называют такую величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем какое именно – заранее указать нельзя.
СВ могут быть одномерными и многомерными:
Одномерная СВ ( скалярная ) – результатом опыта является одно число
Многомерная СВ ( векторная ) – результатом опыта является целый набор значений различных характеристик
СВ также подразделяются на дискретные и непрерывные:
Дискретная СВ (СВ прерывного, дискретного типа) – такая СВ, которая в результате опыта может принимать счетное (конечное или бесконечное) количество различных значений (заранее можно указать все значения или их пронумеровать).
Непрерывная СВ (СВ непрерывного типа) – такая СВ, которая в результате опыта может принимать любое значение из данного интервала (таких значений бесконечное множество)
Давайте сделаем еще один шаг к более строгому пониманию СВ.
Определение: Величина Х называется дискретной СВ, если множество ее возможных (различных) значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2,…, xi,… и если каждое событие Х = xi является случайным событием, т.е. имеет определенную вероятность Pi. (события Х = xi будем называть элементарными событиями ).
Т.е. для задания дискретной СВ необходимо задать все возможные элементарные события (значения) и их вероятности (они могут быть различны!) – или иными словами определить закон распределения.
Законом распределения СВ Х называют любое правило, позволяющее находить соответствие между возможными значениями xi и их вероятностями.
Р(Х=xi) = Pi , для любого i=1, 2, …
Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы), графически.
А) Табличный способ задания ЗР СВ
i | ||||
xi | ||||
Pi |
Б) Графический способ
В) Аналитический способ
Примеры типовых распределений дискретных величин:
1) Биномиальный закон распределения
Биномиальным называют закон распределения дискретной СВ X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (а не появления соответственно q).
m – число раз появления события
2) Закон распределения Пуассона
Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу:
,
и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона