Теорема о повторении опытов
Теорема о полных вероятностях
Теорема:
Если интересующее нас событие А может появиться совместно с одним из событий (гипотез) B1, B2, …, Bn, образующих полную группу (единственно возможные и несовместные) и если для нас безразлично с каким из этих событий оно появится, то вероятность события А, равна сумме произведений вероятностей гипотез на вероятности появления события А, вычисленных в предположении, что соответствующая гипотеза имеет место:
В случае, если гипотезы равновозможны, то
и
Доказательство:
Действительно,
Иногда возникает задача уточнения вероятностей гипотез Bi по результатам испытания, в котором событие А появилось!, т.е. нас интересует PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn).
- Формула Байеса
Теорема:
Если в каждом опыте может появиться или не появиться событие А и если произведено n независимых опытов в неизменных условиях, то вероятность что событие А появится ровно m-раз равна:
- Формула Бернулли
, где
p – вероятность появления события А в опыте
q = 1 – p – вероятность непоявления события А в опыте
Частные случаи:
· Вероятность, что событие А появиться во всех опытах: Pn = pn
· Вероятность, что событие А не появиться ни в одном из опытов: P0 = qn
Пример:
Стрельба по мишени. Производится n = 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле p = 0.8:
q = 0.2
- вероятность не попасть ни разу
- вероятность попасть 1 раз
- вероятность попасть 2 раза
- вероятность попасть 3 раза
- вероятность попасть 4 раза
- вероятность попасть 5 раз
При достаточно большом n пользоваться формулой Бернулли сложно, пожтому выполняют приближенное вычисление на основе теорему Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа:
Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появиться ровно k раз в n испытаниях приближенно равна (тем точнее чем больше n) значению функции: