Сила давления на плоскую горизонтальную и наклонную поверхности. Гидростатический парадокс.

Имеем сосуд (рис.8,а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погружения этой точки. Если взять точки A, В и C, то давления в них будут соответственно равны

р_А = ρ∙g∙h_A; р_B = ρ∙g∙h_B; р_C = ρ∙g∙h_C .

Сила гидростатического давления на горизонтальную площадку S_C

F_C = ρ∙g∙h_C∙S_C .

Сила гидростатического давления на все дно сосуда площадью S может быть определена по формуле

F = ρ∙g∙h∙S .

Следовательно, суммарная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой поверхностью.

На рис. 8,б изображены три сосуда различной формы. Площадь дна S всех трех сосудов одинакова. Все сосуды наполнены однородной жидкостью на глубину H. На рис. 8,б H = H₁ + H₂ Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным р = ρ∙g∙Н .

Суммарная сила гидростатического давления на дно любого из трех показанных на рис. 8,б сосудов будет также одинаковой и равной F=р∙S=ρ∙g∙H∙S. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению c сосудом II и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде III по сравнению c сосудом II? Нет ли здесь противоречия с законами физики?

Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от формы сосуда, а зависит от глубины погружения площади и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который может быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля). Например, на дно сосуда III действует сум­марная сила гидростатического давления F=ρ∙g∙H∙S. Что касается жидкости, находящейся в объемах (АВС) В₁ и (А'В'С') В', то ее вес воспринимается наклонными стенками, a не дном сосуда. Безусловно, если сосуд III будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Следовательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует. Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глубины наполнения сосуда и величины площади его дна и не зависит от формы сосуда.

B практике часто встречаются плоские поверхности (щиты, стенки), расположенные под каким-либо углом α к горизонту.

Выведем расчетную зависимость для определении силы дав­ления жидкости на наклонную плоскую стенку (рис. 8,в), для чего выделим элементарную площадку dS, расположенную на глубине h. Центр тяжести щита (Ц.T) погружен на глубину h₀, площадь стенки равна S. Выберем оси координат так, как это показано на рисунке. Ось х совпадает с линией пересечения плоскости стенки и свободной поверхности, a ось у направлена вдoль стенки. Справа изображена стенка в плоскости хоу. Эту проекцию мы получим, если плоскость стенки повернем отно­сительно оси у на 90°. На площадку dS будет действовать элементарная сила гидростатического давления

dF = dS (ρgh + р₀)

где ρ - плотность жидкости, кг/м³; ρgh - избыточное гидроста­тическое давление, Па; р₀ - давление на свободной поверхности, Па.

Суммарная сила давления F жидкости на весь щит равна сумме элементарных сил, действующих по всей смоченной пло­щади щита. Проинтегрировав по площади S будем иметь

.

B свою очередь

h = y∙sin α ,

тогда

,

где - статический момент площади относительно оси x.

Как известно, статический момент площади равен произведению площади на расстояние у₀ от центра его тяжести до рассматриваемой оси. Следовательно,

.

На рис. 8,в видно, что у₀∙sinα = h₀. Тогда, подставляя значение статического момента и заменяя через h₀ получим

F = S (ρgh₀ + p₀) . (13)

При p₀ = p_a на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направлен­ные навстречу друг к другу. Поэтому формула для этого случая будет иметь вид

F = ρgh₀S .

Видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению пло­щади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести. Нетрудно видеть также, что сила F состоит из двух слагаемых: внешней силы суммарного гидростатического давления р₀S и силы избыточного давления ρgh₀S. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры. Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.