Однополостной гиперболоид
Def. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
(18.4)
Исследуем форму однополостного гиперболоида по той же схеме, по которой исследовали форму эллипсоида.
1. Из уравнения (18.4) следует, что оси коодинат являются осями симметрии однополостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось поверхность пересекает в точках с координатами ось в точках с координатами точек пересечения с осью нет.
2. Линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью имеет уравнение:
Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и
3. Рассмотрим пересечение однополостного гиперболоида и плоскости Линия пересечения задается уравнением
или
(18.5)
т.е представляет собой эллипс с полуосями и Заметим, что полуоси неограниченно увеличиваются с увеличением Таким образом, гиперболоид (18.4) представляет собой поверхность, подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси
4. Линией пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью будет гипебола
с действительной полуосью и мнимой полуосью А линией пересечения гиперболоида с плоскостью также является гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью Таким образом, однополостной гиперболоид (18.4) имеет вид, изображенный на рис. 18.2. Def. Если линиями пересечения однополостного гиперболоида (18.4) с плоскостями являются не эллипсы, а окружности, то он | Рис. 18.2 |
называется однополостным гиперболоидом вращения.
Def. Числа называют полуосями однополостного гиперболоида.