Класи інтегровних функцій

Для визначеної і обмеженої функції у квадровній області формулюється і доводиться теорема Дарбу, аналогічна до теореми 2.3.

Теорема 2.3′, зокрема, дає можливість виділити класи інтегровних функцій.

Теорема 3.4. Якщо функція неперервна на замкненій квадровній множині , то вона інтегровна на цій множині.

Доведення. З того, що квадровна множина , випливає, що вона обмежена. За умовою ще й замкнена, отже ця множина є компактною множиною. А за теоремою Кантора всяка неперервна на компактні множині функція є на ній рівномірно неперервною, тобто

(3.6)

Візьмемо довільне -розбиття множини : таке, що і оцінимо різницю верхньої і нижньої граней функції , використовуючи нерівність (3.6):

де .

Тоді

▄

Теорема 3.5. Якщо функція обмежена на квадровній множині , неперервна на за винятком точок, які утворюють множину з мірою , то вона інтегровна на множині .

Доведення.

Оскільки , то існує скінченна система замкнених прямокутників така, що:

Візьмемо іншу скінченну систему замкнених прямокутників і таку, що

.

Позначимо через межу множини . Тоді множина відкрита і .

Множина замкнена і квадровна, отже неперервна функція на цій множині за попередньою теоремою 3.5 інтегровна на ній, а за критерієм Дарбу (теорема 2.3):

-розбиття множини .

Розглянемо розбиття

,

яке, очевидно, є деяким -розбиттям множини . Для цього розбиття множини маємо:

Отже, за теоремою 2.3 функція інтегровна на . ▄

Приклад 1. Обчислити наближено подвійний інтеграл

, якщо .

розбивши область інтегрування прямими паралельними координатним осям: . Значення підінтегральної функції обчислювати у вершинах квадратів, найбільш віддалених від початку координат . (рис. 3.1)

Розв’язання

Перш за все відмітимо, що підінтегральна функція неперервна, отже інтегровна в області і то

, де .

Отже,

Отже ▄

Приклад 2 Обчислити інтеграл , де -трикутник, обмежений прямими , розбивши область інтегрування прямими на чотири рівних трикутники і вибравши значення підінтегральної функції у центрах ваги цих трикутників. (рис.3.2)

Розв’язання

Прямі розіб’ють область на чотири рівних трикутники. Площа кожного з яких дорівнює .

Центр ваги кожного трикутника є точка перетину медіан, яку можна знайти розв’язавши систему рівнянь двох медіан. Наприклад, для точки маємо:

,

Отже,

▄