Означення подвійного інтеграла по довільній області

На минулій лекції ми означили подвійний інтеграл по прямокутнику, щоб показати аналогію з визначеним інтегралом, а також побудувати фрагмент теорії подвійних інтегралів, визначених та прямокутнику. В даній лекції ми узагальнимо поняття подвійного інтеграла на випадок довільної квадратної області.

Нехай функцію визначена на плоскій квадратній області .

Означення 3.1. Скінченну систему квадратних множин на площині називають -розбиттям множин , якщо:

1) , ;

2) Множини не мають спільних внутрішніх точок: , , ;

3)

Розглянемо довільне - розбиття множини . У кожній множині візьмемо довільну точку і складемо суму

` (3.1)

Означення 3.2. Сума вигляду (3.1) називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю області на частинній області , і даному вибору проміжних точок в частинних областях.

Діаметром області називається число , а найбільше з чисел , .

називають діаметром - розбиття і позначають

Означення 3.3 Число називають границею інтегральної суми (3.1) при , якщо для довільного додатного числа можна вказати таке додатнє число , що при незалежно від вибору точок в частинних областях виконується нерівність

.

Якщо така границя існує, то її називають подвійним інтегралом від функції по області і позначають

або (3.2)

а функцію називають інтегрованою на множину .

Отже,

Теорема 3.1. (необхідна умова інтегрованості)

Якщо і , то для довільної функції , визначеної на множині , подвійний інтеграл дорівнює нулю.

Доведення: Оскільки , то для довільного - розбиття множини маємо, що , .

Отже, ■

З теореми 3.1, зокрема випливає, що інтегрована функція на квадратній множині міри нуль не обов’язково має бути обмеженою.

Розглянемо тепер випадок квадрової множини , яка задовольняє додатковій умові.

Умова 1. Для квадровної множини і для довільного існує - розбиття множини таке, що , а , .

Теорема 3.2 Якщо функція виду інтегрована на квадровій множині , і для множини виконується умова 1, то функція обмежена на цій множині.

Доведення теореми проведемо методом від супротивного. Припустимо, функція , яка задовольняє умови теореми 3.2, необмежена на множині .

Розглянемо довільне - розбиття множини таке, що , а , . Оскільки на множині функція необмежена, то вона необмежена принаймі на одній на одній з множин . Це означає, що на існує точка , в якій значення функції більше від довільного наперед заданого числа, зокрема

.

Тепер оцінимо інтегральну суму:

Отже, інтегральна сума не прямує до скінченної границі при , а це суперечить нашому припущенню про те, необмежена функція інтегровна на множині з умовою 1. ▄

Аналогічно, як і в попередній лекції для обмеженої функції , визначеної на квадровній області , вводять нижню та верхню суми Дарбу по заданому - розбиттю області :

де

Ці суми мають властивості 1-3, сформулюванні у попередній лекції (Доведіть їх!), зокрема у властивості 3 випливає наслідок:

Наслідок. Якщо зафіксувати -розбиття множини , тоді існує

аналогічно, якщо зафіксувати -розбиття множини , тоді існує

.

Означення 3.4. Числа і називають відповідно нижнім і верхнім інтегралом Дарбу функції на квадровній множині :

(3.3)

Теорема 3.3. Якщо функція обмежена на квадровній множині , то

(3.4)

Доведення.

(3.5)

Оскільки множини квадровні, то за теоремою 1.7 їхні межі також квадровні і мають площу 0:

.

Позначимо , тоді:

, звідки . Тому множину , згідно теореми 1.8, можна покрити скінченною системою прямокутників , сума площ яких була б меншою від числа

,

а систему можна покрити іншою системою прямокутників таких, щоб система містилась сторого всередині системи

Тоді відстань між межами множин і буде деяким додатнім числом.

Нехай - деяке фіксоване число, причому . Візьмемо довільне - розбиття множини , яке одержується накладанням і - розбиттів . Доданки в сумах і , які відповідають тим множинам з -розбиття, що цілком містяться в якій-небуть множині з -розбиття, однакові і в різниці вони взаємно знищуються. Тому різницю можна вважати такою, що складається з доданків які відповідають тим множинам з -розбиття, з множиною мають принаймні одну спільну точку. Діаметри цих множин не перевищують числа , тому всі ці множини міститимуться у множині . Отже

Звідси, використовуючи умову (3.5), маємо:

або .

Аналогічно доводять другу рівність 3 (3.4). ▄