Лабораторная работа № 2

Анализ систем с применением марковских процессов.

Аппарат марковских случайных процессов широко используется при анализе сложных систем управления для описания их поведения при наличии случайных факторов.

Пусть имеется случайный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями Z0,Z1,…Zi,…Zj.. Обозначим условную вероятность того, что в момент t =t0+T система будет в состоянии Zj,если в момент t0 она была в состоянии Zi через Pij(t0,Т). Дискретный случайный процесс называется марковским, если вероятность Рij(t0,Т) зависит только от i,j,t0,T,т.е только от того, в каком состоянии система была в момент t0 и в какое состояние она перейдет через время Т.

Марковским процессом с непрерывным временем называется процесс, у которого переход из одного состояния в другое возможен в любой момент времени. Такой класс процессов широко используется для анализа поведения сложных систем управления.

Для описания поведения системы в классе марковских процессов с непрерывным временем необходимо:

1) Ввести понятие состояния системы.

2) Указать все состояния, в которых может находиться система.

3) Составить граф состояний, т.е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние.

4) Для расчета переходных процессов в системе указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени.

5) Для каждого вожможного перехода на графе указать интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния Z_i в состояние Z_j. Обычно интенсивности определяютьс яэкспериментально.

Исчерпывающей характеристикой марковского процесса являеться совокупность вероятностей, P_j(t) того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии Z_j . Эти вероятности определяються на основе решения дифференциальных уравнений:

Система (1) определяет переходной процесс в припущенні, что начальний состояние -P0.

Если число состояний системы n-конечно и из каждого состояния графа можно перейти в любое другое состояние, то такая система будет иметь предельный стационарный режим.Так, система Рис.1а имеет стационарный режим, а система Рис. 1б - не имеет.

а) Рис 1. б)

С практической точки зрения представляет интерес определение вероятностей состояний системы в предельном стационарном режиме.

Для их расчета используется система алгебраических уравнений, получающаяся из (1) путем приравнивания к нулю производных:

Система (3) является линейно зависимой, поэтому ее следует дополнить условием:

Пример. Два абонента А и В работают с одним информационным центром. В определенный момент времени центр может обслуживать только одного абонента. Абонент А имеет более высокий приоритет, поэтому, если от А приходит заявка, обслуживание В прекращается до окончания обслуживания А.

1. Рассчитать вероятности возможных состояний данной системы, если известны интенсивности потоков событий, переводящих систему в соседние состояния.

2. Выяснить, будет ли система работать эффективно, если для этого необходимо, чтобы потери времени абонента В на ожидание составили бы не более 50% времени его обслуживания.

3. Установить какие параметры и каким образом должны измениться, чтобы повысилась эффективность обслуживания абонента В?

Введем понятие состояния системы. Состояние системы определяется состоянием абонентов А и В. Для абонента А возможны два состояния: 0 - отсутствие заявки; 1 - обслуживание. Для абонента В возможны три состояния: 0 - отсутствие заявки; 1 - обслуживание; 2 - ожидание обслуживания.

Тогда состояния системы следующие:

(0,0) - 1 - отсутствие заявок от А и В;

(0,1) - 2 - отсутствие заявки от А и обслуживание В;

(1,0) - 3 - обслуживание А и отсутствие заявки от В;

(1,2) - 4 - обслуживание А и ожидание обслуживания для В.

Граф состояния системы имеет вид:

Рис.2

В соответствии с (3) составим систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний Pi i= 1,4:

-(l12+l13)Р1+l21Р2+l31Р3=0

-(l21+l24)Р2+ l42Р4+l12Р1=0 (5)

-(l31+l34)Р3+l13Р1=0

-l42Р4+l24Р2+l34 Р3=0

Систему уравнений можно составить непосредственно по графу Рис.2, пользуясь правилом: для каждого i-го состояния составляется одно уравнение, причем исходящие из i интенсивности l берутся со знаком минус и умножаются на Pi ; входящие в i интенсивности умножаются со знаком плюс на вероятности тех состояний, из которых они исходят.

Допустим интенсивности для графа рис.2 заданы и равны: ; ; ; ; . Тогда система (5) примет вид :

Эта система линейно-зависимых уравнений. По этому одно уравнение (неважно какое) системы необходимо заменить условием (4):

(6)

Решая систему (6), например, методом Гаусса, получим:

; ; ; .

Отношение времени ожидания и времени обслуживания абонента В определяется отношением вероятностей состояний Р4 и Р2:

Т.к. это отношение больше 0,5 (50%), то можно сделать вывод о неэффективности работы системы.

Чтобы уменьшить отношение необходимо уменьшить интенсивность потоков и или увеличить интенсивность потоков и .

Задание.1. Для заданного графа состояний системы и интенсивностей переходов рассчитать вероятности состояний системы.

Для выделенных на графе вероятности и интенсивности определить : какие значения должна принимать интенсивность , чтобы вероятность не превышала величину а(а - задано).

Задание.2.* Составить граф состояний системы аналогичной приведенной в периметре, но с тремя абонентами А,В,С, приоритеты которых имеют вид:

А>В>С.