Касательная прямая

Пример 10.3

Рассмотрим эллиптическую кривую над . Точки и лежат на , что можно проверить с помощью функции Mod:

p = 31;

a = 11; b = 17; c = 25;

x1 = 2; y1 = 7; x2 = 23; y2 = 9;

F[x_, y_] := y^2 - (x^3 + a*x^2 + b*x + c);

Mod[F[x1, y1], p] == 0

Mod[F[x2, y2], p] == 0

|| True

|| True

Наклон прямой , проходящей через и , дается в (10.6):
. Мы используем здесь функцию PowerMod, чтобы получить мультипликативное обратное к по модулю .

PowerMod[21, -1, p]

|| 3

Координаты третьей точки пересечения с даются формулами (10.7) и (10.8):

lam = 6;

x3 = Mod[lam^2 - a - x1 - x2, p]

y3 = Mod[lam*(x3 - x1) + y1, p]

|| 0

|| 26

Точка действительно лежит на , что можно проверить вычислением:

Mod[F[x3, y3], p] == 0

|| True

Случай

Допустим теперь, что мы привели уравнение (10.1) к виду (10.4). Как и выше, подставляем соотношение (10.6) в уравнение (10.4) и сравниваем коэффициенты при . Получаем

(10.9)

(10.10)

Заметим, что все знаки "минус" можно заменить знаками "плюс", так как .

Имеется еще одна возможность, которую мы должны обсудить, а именно, когда . Пусть — касательная прямая к , проходящая через . Это означает, что пересекает в точке и наклон у совпадает с производной [ по относительно ] в точке . Обычно рассматривается как точка пересечения с кратностью два.

Над ситуация выглядит так:

ContourPlot[y^2 == x^3 - 5 x - 3, {x, -2, 4}, {y, -4, 4},

Epilog -> Line[{{-2, 2}, {4, -4}}], Axes -> True, Frame -> False]

Рис. 10.3. Касательная к эллиптической кривой.

Мы здесь пока исключили возможность того, что — двойная касательная прямая к (т.е., что кратность точки равна 3). Если бы было именно так, то касательная прямая уже пересекала бы в точке с кратностью 3.

В дальнейшем, говоря о взятии производной многочлена над конечным полем, мы имеем в виду формальное дифференцирование и последующее приведение коэффициентов по модулю характеристики поля. Например, в производная от равна , что приводится к .

Случай

Угловой коэффициент (наклон) касательной равен значению производной функции в соответствующей точке. Наклон касательной прямой, проходящей через точку на кривой (см. (10.2)), задается значением . Мы заключаем, что касательная прямая, проходящая через , дается уравнением

где (10.11)

Для нахождения третьей точки пересечения прямой и кривой можно вновь воспользоваться равенствами (10.7) и (10.8).

Случай

Наклон касательной прямой, проходящей через точку на кривой (см. (10.4)) (напомним общее правило дифференцирования , определяемым из равенства или (учитывая, что , )