Нечеткая логика и теория возможностей

Ранее уже был рассмотрен аппарат формальной логики и логического вывода. Благодаря Л. Заде она получила широкое толкование с точки зрения теории множеств. В теории нечетких множеств роль двузначной булевой логики играет нечеткая логика.

В нечеткой логике предположения о принадлежности объекта множеству могут принимать значения в интервале от 0 до 1. Возникает вопрос: как использовать концепцию неопределенности для вычисления значения истинности сложного высказывания?

В классической логике предположение

Является истинным в том и только в том случае, если истинны оба члена этого выражения. В нечеткой логике существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то и аналогично .

Таким образом, можно получить, что если

,

то

.

Теперь рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеем отрицание:

По приведенной выше формуле дополнения:

.

А теперь рассмотрим следующее выражение:

Вероятность истинности этого утверждения равна 0, поскольку:

Однако в нечеткой логике значение этого выражения будет равно 0,1. Суть этого состоит в том, что значение выражения можно считать показателем принадлежности кошки к нечеткому множеству других имен.

Смысл выражения заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этой кошки к кошкам по имени Мурка. Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что кошку зовут иначе.

Из вышесказанного, очевидно, что нечеткая логика имеет дело с ситуациями, когда знания, которыми мы располагаем, выражены нечеткими понятиями. Однако нечеткость понятий является не единственным источником неопределенности. Иногда просто нет уверенности в самих фактах. В этом случае нечеткая логика строится на основе теории возможностей.

Возможность гипотезы – это уровень, на котором рассматривает гипотезу человек, принимающий решения, чтобы она была возможной. Возможность несколько отличается от вероятности в том, что вероятность показывает силу уверенности появления гипотезы. Измерение возможности требует, чтобы ее значения находились в диапазоне [0,1].

Неизбежность гипотезы определяется как единица минус возможность обратной гипотезы. Например, предположим, что возможность хорошего отношения к вам преподавателя равна 0,95 и возможность нехорошего отношения равна 0,3. Тогда неизбежность хорошего отношения равна 0,7.

Чтобы понять смысл теории возможностей рассмотрим классический пример. Предположим, что в коробке лежит 10 шаров. Известно, что несколько из них красные. Какова вероятность того, на удачу из них будет вынут красный шар?

Если бы нам было известно количество красных шаров, рассчитать вероятность с помощью классического аппарата математики не составило бы труда. Но у нас есть лишь неопределенное понятие несколько.

Определим понятие «несколько» как нечеткое множество, например, так:

f={(2/0.1),(3/0.6),(4/1.0),(5/1.0),(6/0.6),(7/0.3),(8/0.3),(9/0.1)}.

В этом определении выражение (2/0.1) f означает, что 2 из 10 вряд ли можно назвать «несколько». В то же время(5/1.0) f идеально согласуются с понятием «несколько». И уж конечно, мы не назовем несколькими 1 или 10 из 10, поскольку интуитивно ясно, что «несколько» означает «больше одного» и «не все». Поэтому в определение нечеткого подмножества значения 1 и 10 не входят.

Теперь распределение возможностей для подмножества красных шаров представляется формулой: , которая после подстановки дает f={(0.2/0.1),(0.3/0.6),(0.4/1.0),(0.5/1.0),(0.6/0.6),(0.7/0.3),(0.8/0.3),(0.9/0.1)}.

Выражение (0.2/0.1) f_k что шанс на то, что вероятность вытащить красный шар из коробки имеет значение 0,2, равен 10%. И, в то же время, можно с уверенностью заявить, что значение вероятности равно 0,4 или 0,5.