Операции с нечеткими множествами

1. Неравенство.

(подмножество В включается в А), когда для всех x выполняется: .

2.Равенство.

, тогда и только тогда, когда для всех х выполняется: .

3.Дополнение.

, если: .

4.Пересечение.

, если: .

5.Объединение.

, если:

Иными словами, геометрическая близость представляет собой сходство между элементами нечетких множеств. Геометрическая близость между объектами двух нечетких множеств определяется на основе применения различных метрик (расстояний).

Для выявления степени различия между признаками используется расстояние Хэмминга:

.

Относительное расстояние Хэмминга:

,

где .

Методы получения функции принадлежности подразделяются на:

·
прямые,

·
косвенные,

·
методы, на основе терм множеств.

Каждый из этих классов включает в себя методы, основанные на единичной и групповой экспертизе.

К прямым методам получения функции принадлежности относится метод семантического дифференциала.

Метод семантического дифференциала

Для каждой предметной области для описания объекта можно выбрать некоторую шкалу измерений, используя следующие рекомендации:

1.
Составить список свойств, которые должны описывать объект исследования.

2.
В этом списке для каждой характеристики найти полярные значения

3.
Для каждой пары полярных определений найти, как сильно выражено положительное свойство характеристики.

Полученный профиль представляет собой значение функции принадлежности по каждой характеристике. Оценивая полюсные значения [0;1], мы гарантируем, что значения функции будут находиться в интервале[0;1].

Шкала Саати

Пусть необходимо выбрать работу на основе на основе следующей информации:

Места работы – .

Критерии оценки – зарплата, перспективность, расстояние от дома и т.д. – .

1. Выбор альтернативы можно производить по одному критерию. Тогда:

С – критерий, – нечеткое множество характеристик этого критерия.

Лучшая альтернатива .

2. Выбор альтернативы можно проводить на основе нескольких критериев, которым присваивается одинаковая важность. Тогда: – одинаковы по важности:

;

.

Лучшая альтернатива .

3. Выбор альтернативы производится по критериям, которым присвоена разная важность. Тогда вводится параметр .

Нечетким множеством - уровня называется множество пар вида

Например: Параметр α и называется показателем значимости. Важность того или иного критерия определяется весовым коэффициентом. Он определяется экспертными оценками и зависит от заданного показателя значимости. Для того чтобы получить групповые веса, Саати предложил шкалу оценок важности. Эта шкала базируется на основе парных сравнений.

На основе экспертной оценки по собственным значениям составляется матрица ранжирования и на ее основе вычисляются весовые коэффициенты.