Понятие принадлежности.

Основы теории нечетких множеств. Правило Байеса

Системы нечеткого рассуждения

 

При попытке формализовать человеческие знания исследователи вскоре столкнулись с проблемой, затрудняющей использование традиционного математического аппарата для их описания. Существует целый класс описаний, оперирующих качественными характеристиками объекта (много, мало, очень мало). Эти характеристики обычно размыты и не могут быть точно интерпретированы, однако содержат ценную информацию (например: если НЕМНОГО рискнуть, то можно МНОГО получит, при этом НЕМНОГО и МНОГО принципиально субъективны). Кроме того, часто приходится пользоваться неточными знаниями, которые не могут быть интерпретированы как истинные или ложные (true/ false).

Для разрешения таких проблем в начале 70-х годов американский математик Лотфи Заде предложил аппарат нечеткой (fazzy) логики. Позже это направление положило начало одной из ветвей ИИ под названием мягкие вычисления (soft computing).

Л. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике – понятие лингвистической переменной.

Лингвистическая переменная – это переменная, значение которой определяется набором вербальных (т.е. словесных) характеристик некоторого свойства.

Значение лингвистической переменной определяется через т.н. нечеткие множества. Они в свою очередь, определены через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности.

Пусть Е – множество, А – подмножество в этом множестве. В множестве Е существуют элементы хi принадлежащие этому подмножеству. Тогда хi принадлежит А если существует функция:

где
- функция принадлежности.

Таким образом, нечеткое множество – это совокупность пар вида .

Основным отличием нечеткой логики от классической, как явствует из названия, является наличие не только двух классических состояний (значений), но и промежуточных: .

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому нечеткому множеству. Эту функцию не стоит путать с вероятностью, которая определяется математически.

Например, для двух экспертов определение нечеткого множества «ВЫСОКАЯ» для лингвистической переменной «ОПЛАТА ЗА ОБУЧЕНИЕ» существенно отличается в зависимости от их социального и финансового положения.

Для разрешения этой проблемы существует правило Байеса.

Правило Байеса позволяет определить относительное правдоподобие конкурирующих гипотез, исходя из силы свидетельств. В основе этого правила лежит формула:

,

где отношение правдоподобия ^ О определяется как вероятность события или свидетельства Е при условии заданной конкретной гипотезы Н, деленная на вероятность этого свидетельства при условии ложности данного свидетельства.

Используя правило Байеса, удобнее работать с шансами.

Шансы в пользу чего-то О и вероятность Р преобразуются друг в друга следующим образом .

Преобразование оценки «шансы против» в оценку «шансы за» осуществляется с помощью зависимости .

Байесовская формула может быть сведена к виду:

,

где – априорные шансы в пользу Н, а – результирующие шансы при условии наступления события Е, в соответствии с отношением правдоподобия . При заданных априорных шансах для конкурирующих гипотез, про которые известно, что они произошли легко вычисляются результирующие шансы. Отношение правдоподобия получается из простой двумерной таблицы, показывающей, насколько часто случается каждое событие при каждой из гипотез.

Таким образом, отношения правдоподобия дают два преимущества:

1.
Они допускают комбинирование нескольких независимых источников данных.

2.
Их можно корректировать, если свидетельство ненадежно само по себе.