Диапазон представления чисел с плавающей запятой.

Его принято определять в отношении модуля нормализованного числа. В общем случае этот диапазон представим в виде :

М _{а мин} ^норм *S^{Ра мин}£½А _пл ^норм½£М _{Ра макс}*S ^{Ра макс}

Особенности представления чисел с плавающей запятой в ЭВМ различных классов :

1) ЕС ЭВМ (IBM/370) - ЭВМ общего назначения (Main Frame) числа представляются в трех форматах :

0 1 7 8 21 (63, 127)

В больших ЭВМ принято нумерацию разрядов в формате производить слева направо. В мини компьютерах и персональных ЭВМ - справа налево.

Х_А=Р_А+d ; d=64

0£X_A£127

-64£P_A£63

В связи с тем, что в качестве основания порядка используют S=16 признаком нормализации числа является наличие значащей шестнадцатиричной цифры в старших разрядах мантиссы. Таким образом признаком нормализации числа является наличие хотя бы одной единицы в старшей тетраде мантиссы.

Диапазон представления нормализованной мантиссы

1/16£М_А^норм£1-2-m<1

m - число разрядов мантиссы

В общем случае диапазон представления нормализованной мантиссы в виде правильной дроби при основании порядка S имеет вид :

1/S£M_A^H<1

При выполнении арифметических операций при некоторых соотношениях операндов могут возникать ситуации когда результат операции выходит за пределы диапазона.

Выход за праву границу диапазона - получение очень большого по модулю результата классифицируется как переполнение порядка, за левую - как потеря порядка.

В терминологии стандарта IEEE последняя ситуация называется антипереполнением.

Возникновение особых случаев может привести к останову программы (если эти ситуации не являются замаскированными, то есть прерывания по ним разрешены).

2) СМ ЭВМ (РДР-11, VAX-11)

КФ 31 30 23 22 0

В качестве основания порядка S=2. Смещенный порядок (характеристика) занимает 8 разрядов, величина смещения равна весу старшего разряда смещения. В мантиссе используется скрытый разряд.

0£x_a£255

-128£P_a£127

-1£M_a^H£1

IEEE

КФ (КВ) 31 30 23 22 0

ДФ (ДВ) 63 62 52 51 0

РФ (РВ) 79 78 64 63 0

Скрытая единица имеет место в коротком и длинном форматах, в расширенном формате она представляется в явном виде. Величина смещения определяется как вес старшего разряда характеристики, уменьшенная на единицу.

КФ: d=2⁷-1=127; ДФ: d=2¹⁰-1=1023; РФ: d=2¹⁴-1=16383

При определении диапазона чисео необходимо учитывать, что крайние значения характеристики для всех форматов зарезервированы и не используются для представления обычных чисел.

Максимальное значение характеристики, представленное всеми единицами при положительном знаке зарезервированно для представления значения +¥ (нулевая мантисса) и представление так называемых “не чисел” (NAN). Максимальное значение характеристики используется для преставления -¥,, (неопределенность) в старшем разряде единица, в остальных - ноль.

Минимальное значение характеристики, представленное всеми нулями зарезервированно для представления “денормализованных” чисел (положительных и отрицательных) и нуля (всеми нулями формата).

КФ:

1£x_a£254

-126£P_a£127

1£M_a^H£2

ДФ: 10^-308<|А_п.з.|<10³⁰⁸

РФ: 10^-4932<|А_п.з.|<10⁴⁹³²