ВВЕДЕНИЕ
ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
РАБОТА № 8
Приборы и принадлежности: маятник Обербека с четырьмя одинаковыми грузами, набор из двух грузов, секундомер, штангенциркуль.
Цель работы:
· Изучить зависимость момента инерции грузов от расстояния их до оси вращения.
· Определить зависимость углового ускорения от момента силы при постоянном моменте инерции грузов.
Важной характеристикой твердого тела является его момент инерции, характеризующий распределение масс в твердом теле. Напомним, что момент инерции относительно какой-либо оси определяется следующим образом:
I= 
(1).
Смысл величин, входящих в эту формулу следующий. Разобьем мысленно твердое тело на малые части, размер каждой из которых значительно меньше размеров самого этого тела. Пусть Dmk – масса k-й части, Rk– расстояние от этой части до оси. Сумма берется по всем частям.
Момент инерции определяет, в частности, кинетическую энергию вращающегося твердого тела:
(2),
где w - угловая скорость, I – момент инерции тела относительно оси вращения.
При поступательном движении, как известно, кинетическая энергия вычисляется по формуле
(3),
где m – масса тела, V – линейная скорость.
Основным уравнением движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, является уравнение моментов
Iz b=Mz (4).
Здесь Mz– сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно той же оси, b - угловое ускорение.
Для поступательного движения второй закон Ньютона имеет вид:
ma= F(5)
|
Из сравнения (2), (3), (4) и (5) можно сказать, что момент инерции твердого тела во вращательном движении играет такую же роль, как масса в поступательном. Иными словами, момент инерции определяет инертность вращающегося тела.
В данной работе проверяется уравнение моментов (4), для чего используется маятник Обербека. Он представляет собой крестовину, укрепленную на вращающемся валике, имеющем три шкива различных радиусов r. На спицы крестовины надеты одинаковые грузы, которые могут передвигаться на спицах и закрепляться в нужном положении винтами. На один из шкивов наматывается нить, на конце которой укрепляется тело А массы m (см. рис.1). Момент силы, вращающий маятник, создается силой натяжения нити F, этот момент равен:
M=F×r,
здесь r – радиус шкива (плечо силы).
Силу F можно связать с ускорением тела А. Действительно, к телу А приложены силы: mg ‑ сила тяжести и F – сила натяжения нити, поэтому согласно второму закону Ньютона с учетом направления сил имеем:
ma = mg – F,
или
F = m (g-a) (6).
Тогда вращающий момент:
M = m (g – a) r (7).
Угловое ускорение b маятника связано с ускорением груза a:
br = a (8).
Из (4), (7), (8) выразим момент инерции системы через ускорение груза:
(9).
Входящее в эту формулу ускорение а связано со временем движения t тела А и высотой h, с которой опускается это тело:
Тогда:
(10).
Высота и время легко определяются экспериментально, что и позволяет найти согласно (9) момент инерции маятника.
С другой стороны, момент инерции маятника Обербека относительно его оси вращения равен, очевидно:
I=I0+Iгр,
где I0 – момент инерции пустой (без грузов) крестовины, Iгр – момент инерции четырех грузов, надетых на крестовину. В свою очередь, момент инерции грузов, в силу теоремы Штейнера, равен
Iгр=4(Iгр1+m0R2) (11),
где I гр1 – момент инерции одного груза относительно оси, проходящей через его центр инерции, параллельной оси вращения, m0– масса одного груза, R – расстояние от центра инерции груза до оси вращения маятника.
Момент инерции груза Iгр1~ 
, где 
– характерный размер груза. В нашей работе 
ááR2 и можно считать, что
Iгр=4m0R2 (12).
Поэтому момент инерции маятника
I=I0+4m0R2 (13).
· Последнее соотношение показывает, что перемещая грузы вдоль спиц, на которые они насажены, мы будем изменять момент инерции маятника. Если вначале грузы находятся на расстоянии R1 от оси вращения, а затем - на расстоянии R2, то в силу (13):
(14),
где I1, I2 - моменты инерции маятника в первом и во втором случаях.
Если же оставлять момент инерции маятника неизменным, то, согласно (5), угловое ускорение будет пропорционально моменту силы:
(15).