ВВЕДЕНИЕ

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ШАРОВ

РАБОТА № 3

Приборы и принадлежности: установка с укрепленными шарами, аккумулятор для питания электромагнитов, метровая линейка.

Цель работы: познакомиться с применением законов сохранения энергии и импульса к изучению удара двух шаров, определить коэффициент восстановления материала шаров.

Под столкновением в физике понимается не только взаимодействие тел при их непосредственном соприкосновении (удар двух или нескольких шаров, удар молотка о поверхность и т. п.), но и взаимодействие в более широком смысле, когда первоначально тела находились далеко друг от друга и не взаимодействовали, в процессе сближения они взаимодействуют, в результате чего происходят различные процессы – тела могут соединиться вместе, могут появиться новые тела или тела могут вновь разойтись без изменения своего внутреннего состояния, т.е. может произойти упругое столкновение. Соударения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния сталкивающихся тел называются, неупругими.

В технике удар характеризуют величиной коэффициента восстановления. Коэффициентом восстановления К называется отношение скорости тела после удара о стенку v' к скорости v тела до удара. Более строго, если v' и v – компоненты скорости тела нормальные к стенке после и до удара, то К:

(1)

Значение коэффициента восстановления К заключено между 0 и 1 (0Ј К Ј1) и зависит от материала тел.

В нашей работе рассматривается центральный удар двух шаров. Удар называется центральным, если скорости шаров перед ударом и после него направлены вдоль одной прямой. В этом случае коэффициент восстановления К определяется как отношение модуля относительной скорости шаров после удара к модулю их относительной скорости до удара:

(2)

Экспериментальное определение Кможно проводить по крайней мере двумя способами.

В первом способе можно сообщить двум одинаковым шарам одинаковые ско­рости, направив шары навстречу друг другу. Если одинаковые шары имеют перед ударом одинаковые по величине скорости и движутся навстречу друг другу, то после удара величины их скоростей также будут одинаковы. Действительно, в данном случае до удара полный импульс системы равен нулю:

но тогда он останется равным нулю и после удара, согласно закону сохранения импульса[2]. Но так как шары одинаковые, то будут одинаковы и их скорости. Действительно, обозначая скорости шаров после удара через , имеем:

, (3)

, (4)

Тогда коэффициент восстановления, характеризующий свойства материала шаров, будет:

Если шары испытали n столкновений, то их скорости нетрудно вычислить. Действительно, последовательно имеем: V₁=KV₀, V₂=KV₁, V₃=KV₂, ..., V_n=KV_n-1. Перемножая эти равенства, получим окончательно:

V_n= K ⁿ V₀, и, соответственно:

K= (5)

Во втором способе можно отклонять лишь один из шаров, оставляя второй неподвижным. Тогда закон сохранения импульса дает:

V₀=V₁+V₂.

Имея в виду, что V₂–V₁=KV₀, получаем:

V₂=V₀(1+K)/2; V₁=V₀(1-K)/2.

Поскольку при всех столкновениях справедлив закон сохранения импульса, то и после n-го столкновения:

V=V1n+V2n. (6)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, V2n-V1n= K(V2n-1-V1n-1). Çàïèñàâ ýòè ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà äëÿ êàæäîãî óäàðà è ïåðåìíîæèâ èõ, ïîëó÷èì:

V2n-V1n= KnV0 (7)

Èç (6) è (7) òîãäà íàõîäèì:

V2=V0(1+Kn)/2; V1=V0(1-Kn)/2 (8)

Определение скоростей шаров в данной работе производится на установке, изображенной на рис. 1.

Если каждый из шаров отклонить на угол j₀, а затем отпустить, то после удара они отскакивают друг от друга и отклоняются на углы j₁, j₂, … и так далее (после каждого последовательного удара).

Потенциальная энергия каждого шара в крайнем положении равна: U=mgh, где m – масса шара, h – максимальная высота подъема в крайнем положении.

Из рис. 1 видно, что

,

где – расстояние от точки подвеса до центра шара.

Тогда

(9)

Угол j определяется из соотношения

(10)

Где a– отклонение шара в горизонтальном направлении, d – высота, на которой находится шар, относительно точки подвеса (см. рис. 1).

Непосредственно перед ударом энергия шара совпадает с его кинетической энергией, которую можно записать как кинетическую энергию материальной точки:

(11),

поскольку размеры шара малы по сравнению с длиной нити .

Тогда из (9) и (11) получим формулу для скорости шара перед ударом:

(12).

Здесь g – ускорение силы тяжести, - расстояние от точки подвеса до центра шара, j- угол отклонения нити.

Обозначим скорости шаров перед последовательными соударениями через V₀, V₁, V₂, ..., углы отклонения, соответствующие этим скоростям, соответственно через j₀, j₁, j₂,… Тогда, согласно (5), или, принимая во внимание (12), получим:

(13)

Таким образом, для вычисления коэффициента восстановления нужно знать соответствующие углы отклонения.

Определение K вторым способом производится точно так же, как и в первом способе, с той лишь разницей, что V_2n/V₀=(1+Kⁿ)/2, V_1n/V₀=(1-Kⁿ)/2. Здесь, однако, V_1n и V_2n это скорости первого и, соответственно, второго шара после n-го удара. Окончательно находим:

(14)

При расчетах величины K можно значительно уменьшить объем вычислений, если учесть, что во всех опытах отношение a_n/d áá1. Поэтому tg j_n=a_n/d тоже мал и можно написать:

a_n/d = tg j_n »j_n.

Аналогично для синуса:

sin(j_n/2) (j_n/2»a_n/(2d).

Откуда, для определения Kпо первому способу:

Это выражение можно еще упростить, записав:

Замечая, далее, что во всех опытах áá1 , можно с помощью тейлоровского разложения

(1+x)ⁿ »1+nx (| x | áá1)

представить К в более простом виде:

.

Во втором способе определения K получим:

(15)