Ошибки косвенных измерений

Часто бывает так, что интересующую вас величину непосредственно измерить нельзя. Так например, для измерения плотности обычно измеряют массу тела М и его объем V, а саму плотность r находят как их частное:

r=M/V.

Как найти ошибку в определении плотности, если известны погрешности измерений массы и объема? Как поступить во многих других подобных случаях? Ответ дается теорией вероятности, мы его приводим здесь без доказательства.

1 случай: Пусть значение искомой физической величины находится путем сложения нескольких других величин:

y=x₁+x₂+... (6).

Тогда среднее значение определяется выражением:

(7).

А ее средняя квадратичная погрешность:

(8).

2 случай: Пусть искомая величина связана с другими величинами с помощью формулы:

y=u^av^bw^c... (9),

где – a, b, c – любые вещественные числа.

Тогда:

(10).

В этом случае относительная ошибка (ее вычислить в этом случае проще) дается формулой:

(11).

В частности, в упоминаемом примере с определением плотности, имеем:

(12).

Заметим, что формулы (8) и (11) похожи одна на другую: складываются квадраты ошибок. Но только в первом случае, когда искомая величина является суммой или разностью других величин, складываются квадраты абсолютных погрешностей, а в случае, когда искомая величина равна произведению других величин, складываются квадраты относительных ошибок.

Общий случай. Пусть искомая величина y является произвольной функцией других величин:

y=f(u,v,w,...) (13).

Тогда:

(14),

(15).

Здесь – частная производная f по u, т.е. при дифференцировании f по u все остальные величины v, w,… считаются постоянными. Значения производных , ... берутся при средних значениях

В качестве примера использования общей формулы (15) получим из нее вновь формулу (12).

Пусть:

r=MV^–1

Тогда:

,

Откуда: