Пересечение конуса плоскостью
При пересечении кругового конуса, в зависимости от положения секущей плоскости, могут получиться следующие линии пересечения:
окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна к оси вращения конуса (рис.159,а);
эллипс, если секущая плоскость S пересекает все образующие конуса (рис.159,б);
гипербола, если секущая плоскость Р параллельна двум образующим конуса (рис.159,д);
парабола, если секущая плоскость Т параллельна одной образующей конуса (рис.159,в);
прямые линии, если секущая плоскость Q проходит через вершину конуса (рис.159,г);
Рис. 159
Проекции линии пересечения конуса плоскостью строятся по отдельным точкам.
Пример 1. Построить линию пересечения прямого кругового конуса фронтально проецирующей плоскостью Q (рис. 160).
На фронтальной проекции выделяем опорные точки 1 (12) и 2 (22), которые принадлежат очерковым образующим конуса, находим их горизонтальные проекции: 11, 21. Выбираем произвольные точки 3 º 3¢ (32º32¢), 4º4¢ (42º42¢), 5º5¢ (52º52¢). Проводим через вершину конуса и выбранные точки образующие на фронтальной проекции, строя горизонтальные проекции этих образующих, мы определяем и горизонтальные проекции этих точек. После этого все горизонтальные проекции точек соединяем плавной кривой линией. Полученное сечение представляет собой эллипс.
Рис. 166
Пример 2. Определить точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью наклонного цилиндра (рис.167).
Через заданную прямую АВ проводим вспомогательную секущую плоскость общего положения S, параллельную образующим цилиндра. Такая плоскость пересечет цилиндр по образующим 11¢ и 22¢, то есть по прямым линиям. Эту плоскость зададим двумя параллельными прямыми a и b, проекции которых будут параллельны соответствующим проекциям образующих цилиндра и проходящими через две точки заданной прямой (аÎА, bÎB).
Затем определяем горизонтальный след этой плоскости S1, который проходит через горизонтальные следы прямых a и b (ММ¢ = S1). След S1 пересекает основание цилиндра на плоскости П1 в точках 11 и 21.
Пример 3. Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 168).
Заключаем прямую АВ во фронтально проецирующую плоскость S (S2). Строим сечение сферы плоскостью S. Фронтальная проекция сечения представляет собой прямую линию, совпадающую со следом плоскости S2. Выбираем опорные точки: верхнюю (12), нижнюю (42), точки границы видимости относительно плоскости П1 (22 º 32). Без дополнительных построений, используя лишь линии связей, находим на горизонтальной проекции экватора проекции 31 и 21, на проекции главного меридиана проекции 11 и 41. Затем произвольно выбираем на плоскости П2 ряд промежуточных точек: 52º52¢, 62º62¢, которые строим, используя дополнительные секущие плоскости уровня Т(Т2) и Q(Q2). Эти плоскости пересекают сферу по параллелям, проекции которых на П1 представляют собой окружности. Все построенные на горизонтальной плоскости проекции точки соединяем плавной кривой линией (эллипс) с учетом Рис. 168
видимости поверхности сферы: точки, расположенные на сфере выше экватора, на плоскости П1 будут видимыми, ниже – не видимыми.
Искомые точки пересечения K и L прямой АВ с поверхностью сферы находим в результате пересечения прямой с построенным сечением.
Пример 4. Определить точки пересечения прямой АВ со сферой, используя при этом способы преобразования проекционного чертежа (рис. 169).
Через заданную прямую АВ проводим горизонтально проецирующую плоскость S^П1 (любая плоскость пресекает сферу по окружности).
Способом замены плоскостей проекций определяем натуральную величину сечения сферы плоскостью S. Для этого проводим новую плоскость проекций П4 ‖S. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 ось X14 проведена параллельно S1. На плоскости П4 строим новую про-
екцию сферы с центром в точке О4 и заданного радиуса, а также новую проекцию прямой АВ Рис.169
(А4В4). Окружность сечения сферы плоскостью S
спроецируется на плоскость П4 в виде концентрической окружности из того же центра О4 диаметром, равным хорде 1121.
Определяем точки K4 и L4 пересечения заданной прямой АВ с построенной окружностью сечения сферы плоскостью S. По линиям связей переносим построенные точки на прямую АВ в системе П1/П2.
В исходной системе плоскостей проекций определяем видимость прямой и заданной сферы. Часть прямой, расположенная внутри сферы, не видна на всех проекциях (это отрезки K1L1 и K2L2). Видимость других участков прямой зависит от видимости точек, в которых она пересекает сферу. Так как очка L2 расположена выше экватора, то на П1 отрезок В1L1 будет видимым. Точка К1 расположена перед главной меридианальной плоскостью, поэтому на П2 отрезок А2К2 видимый. На плоскости П1 часть прямой АК будет видна только за пределами сферы, так как ZА < Z0. На плоскости П2 видна часть прямой ВL только за пределами сферы, так как YL < Y0.