Необходимый признак сходимости числового ряда

Основные понятия

V. Числовые ряды

Лекция 8

Приложения тройного интеграла

1) Объем тела

Объем тела V выражается формулой .

2) Масса тела

Масса тела при заданной плотности вычисляется с помощью интеграла (тройного) .

3)Статические моменты

Моменты , , тела относительно координатных плоскостей oxy, oxz, oyz вычисляются по формулам , и .

5) Центр тяжести

Координаты центра тяжести тела , , .

Числовым рядом называются выражения вида (1), где действительные или комплексные числа, которые называются членами ряда, общий член ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера . Сумма первых членов ряда называется - частичной суммой ряда и обозначается , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы , , . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называется суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают так . Если не существует или , то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим несколько свойств рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то ряд (2), где - произвольное число также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. если сходится ряд (1) и сходится ряд , а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно .

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимися рядами. И из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Свойство 3. если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Из этого свойства также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е. .

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является задачей весьма непростой. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. , тогда и учитывая, что при . Получаем . Чтд.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует или ряд расходится.

Пример: исследовать сходимость ряда . , т.е. ряд расходится. Теорема даст необходимое условие сходимости ряда, не достаточное из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды для некоторых . В качестве примера можно рассмотреть так называемый гармонический ряд.

Очевидно, что , но ряд расходится. (Доказывать не будем).