Лекция № 7 Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Лекция № 6 Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц и их свойства. Собственные числа матрицы.

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из строк и столбцов, называют матрицей порядка (на ) и обозначают символом . В общем виде матрица выглядит так

.

Числа называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый показывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй – номер столбца. Размерность матрицы указывать не обязательно. При матрицу называют матрицей-строкой, а при - матрицей-столбцом.

Матрицу, все элементы которой, равны нулю, называют нулевой матрицей и обычно обозначают . Таким образом, .

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. , то матрицу называют квадратной порядка и обозначают символом . В квадратной матрице элементы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали, а элементы, сумма индексов которых равна , элементами побочной диагонали. Во множестве квадратных матриц особую роль играет матрица

.

Ее называют единичной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули.

Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие ниже или выше элементов главной диагонали, равны нулю. Например, матрицы и треугольные, причем матрицу называют верхнетреугольной, а матрицу – нижнетреугольной.

Определение 1. Две матрицы одинакового порядка и называют

равными и пишут =, если все элементы с одинаковыми

индексами обеих матриц совпадают.

Определение 2. Суммой двух матриц и одинакового порядка

называют матрицу того же порядка, элементы которой

равны суммам соответствующих элементов матриц и .

Определение 3. Произведением матрицы на число называют матрицу

, все элементы которой равны соответствующим

элементам матрицы , умноженным на число .

Из определения 3 вытекают следующие свойства операции умножения матрицы на число: и .

Рассмотрим теперь операцию умножения матрицы на матрицу. Пусть имеем матрицу и матрицу . Сразу же обратим внимание на размерность матриц: число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Это условие является необходимым для того, чтобы можно было матрицу умножить на матрицу .

Будем рассматривать элементы каждой строки матрицы как координаты мерных векторов:

;

;

…………………….

.

Аналогично элементы каждого столбца матрицы также будем рассматривать как координаты мерных векторов:

;

;

;

……………………

Произведением матрицы на матрицу назовем матрицу .

Как видим, элементами матрицы являются скалярные произведения векторов , где на векторы , где .

Рассмотрим свойства операции умножения матриц. Из определения операции умножения матрицы на матрицу вовсе не следует, что можно умножить матрицу на матрицу . Это осуществимо только при условии, что . В противном случае произведение просто не существует. Следовательно, бессмысленно говорить о коммутативности операции умножения матриц. Однако имеют место свойства ассоциативности: и дистрибутивности: ; , которые легко проверяются.

Очевидно, что если и квадратные матрицы одного порядка, то существуют произведения и , но нельзя утверждать, что . Если же матрицы и таковы, что , то их называют перестановочными.

Особую роль при умножении квадратных матриц играет единичная матрица . Легко показать, что для любой квадратной матрицы имеет место равенство , т.е во множестве квадратных матриц порядка матрица является аналогом числа 1 во множестве действительных чисел.

Пусть имеем матрицу . Если в ней поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок, то получим матрицу , которую называют транспонированной для .

Легко заметить следующие два свойства операции транспонирования матрицы:

1°. Если матрицу транспонировать дважды, то в результате получим исходную матрицу : .

2°. При транспонировании квадратной матрицы элементы главной диагонали не меняются.

Определение 4. Если квадратная матрица совпадает со своей

транспонированной матрицей , то ее называют

симметрической.

Из определения симметрической матрицы видно, что ее элементы должны быть симметричны относительно главной диагонали. Например, матрица является симметрической, а матрица - нет.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка . Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое , или , или , полученное из элементов матрицы по следующему правилу: . Например, если , то .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка . Определителем этой матрицы назовем число .

= , или

(1)

Равенство (1) называют разложением определителя по элементам первой строки.

Выражения ; и называют алгебраическими дополнениями элементов , и соответственно. Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки может быть записано в виде: .

Нетрудно заметить, что аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу го порядка . Определителем такой матрицы, разложенным по ой строке, назовем число

, где - элементы ой строки, а - их алгебраические дополнения.

Рассмотрим основные свойства определителей.

1). При умножении всех элементов любой строки матрицы на некоторое число определитель исходной матрицы умножается на это число.

2). Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

3). При перестановке местами любых двух строк матрицы без изменения остальных строк определитель меняет знак.

4). Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.

5). Определитель матрицы не изменится, если к любой строке матрицы прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число.

6). Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

7). При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется.

Определение 4. Квадратную матрицу называют вырожденной

(невырожденной), если .

Число называют собственным числом матрицы , если оно является корнем уравнения .

Пусть имеем матрицу . Рассматривая элементы каждой строки как координаты мерных векторов соответственно, матрицу можно записать в виде матрицы-столбца . Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют строчным рангом матрицы .

Если же в матрице элементы каждого столбца рассматривать как координаты мерных векторов , то матрицу можно записать в виде матрицы-строки =(). Наибольшее число линейно независимых векторов во множестве {} называют столбцовым рангом матрицы . Можно доказать, что строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Их общее значение называют рангом матрицы и обозначают символом .

Однако находить ранг матрицы по определению часто бывает неудобно из-за трудоемкости. Обычно для определения ранга матрицы ее преобразовывают к ступенчатому виду, который сразу позволяет определить линейную зависимость или независимость ее строк или столбцов.

Матрицей ступенчатого вида называют матрицу , обладающую свойством: если - первый ненулевой элемент строки , то все элементы матрицы, стоящие ниже и левее , равны нулю (т.е , при всех ). При этом элементы называют угловыми. Например, матрица является матрицей ступенчатого вида. В первой строке первым отличным от нуля элементом является . Все элементы, стоящие ниже его равны нулю: . Во второй строке первым отличным от нуля элементом является . Все элементы, стоящие ниже и левее равны нулю: , . В третьей строке первый отличный от нуля элемент , а . В четвертой строке все элементы нулевые. Таким образом, угловыми элементами матрицы , имеющей ступенчатый вид, являются . Матрица не является матрицей ступенчатого вида, так как для первого отличного от нуля элемента второй строки элемент , стоящий ниже, отличен от нуля.

Рассмотрим преобразования, не меняющие ранга матрицы, т.е. не меняющие линейной зависимости (независимости) строк или столбцов матрицы. К ним относятся следующие преобразования, которые называют элементарными:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) изменение порядка строк (столбцов);

3) транспонирование матрицы;

4) умножение всех элементов строки (столбца) на любое число ;

5) умножение всех элементов одной строки (столбца) на любое число и прибавление их к соответствующим элементам другой строки (столбца).

Можно доказать, что с помощью перечисленных выше преобразований любая матрица приводится к ступенчатому виду. При этом ее ранг будет равен числу угловых элементов матрицы.

Систему, состоящую из уравнений с неизвестными вида

(1)

называют системой линейных уравнений. В ней - заданные числа. Решением такой системы называется набор чисел , при подстановке которых в систему, каждое из уравнений превращается в верное равенство. Решить систему уравнений (1) – значит найти множество всех решений или доказать, что система не имеет решений. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; в противном случае – несовместной.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают. В противном случае системы называют неэквивалентными.

Если , то систему (1) называют однородной; в противном случае (т.е. если хотя бы одно из чисел не равно нулю) – неоднородной.

Матрицу называют матрицей системы (1); матрицу называют расширенной матрицей системы (1); матрицу называют матрицей неизвестных, а матрицу - матрицей свободных членов. Нетрудно заметить, что систему (1) можно записать в матричной форме в виде

. (2)

Если в системе (1) число неизвестных совпадает с числом уравнений () и , то систему можно решить методом Крамера по формулам , , …,, где , определители, полученные из заменой го столбца столбцом свободных членов .