Виды функций

Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций

На рисунке дан граф соответствия между множествами
Х = {а; b; с; d; е}, Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный.

А = {а; b; с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y.

Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х).

х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция f с областью определения А Ì Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y.

Элемент у Î Y, соответствующий элементу х Î А, называют значением функции f и пишут у = f (х).

Определение. Множество всех у Î Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R {2}.

Способы задания функций

1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х.

2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х).

Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Î Х, то – х Î Х.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) < f (х₂).

Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) > f (х₂).

Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

1. Постоянная функция.

Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).

х

2. Прямая пропорциональность.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,

заданная формулой у = k х, где k ¹ 0. Число k называют коэффициентом

пропорциональности.

Свойства функции у = k х

1) Область определения – множество всех действительных чисел.

2) Множество значений – множество всех действительных чисел.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = k ∙(– х) = – k х = – f (х).

4) При k > 0 функция возрастает, при k <0 функция убывает.

5) Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой).

Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х₁; у₁), (х₂; у₂) – пары соответствующих значений, причем х₂ ¹ 0, то . Действительно, у₁ = k х₁, у₂ = k х₂. Т.к. х₂ ¹ 0, то у₂ ¹ 0. Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз.

3. Обратная пропорциональность

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = , где k ¹ 0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции у =

1) Область определения: (-; 0) È(0; +)

2) Множество значений: R {0}.

3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = = –= – f (х).

4) При k > 0 функция убывает на промежутке (-; 0) È(0; +), при k <0 функция возрастает на промежутке (-; 0) È(0; +).

5) Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k <0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.

Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х₁; у₁), (х₂; у₂) – пары соответствующих значений, причем х₂ ¹ 0, у₁ ¹ 0, то . Действительно, у₁ = , у₂ = . Тогда .

Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз.

4. Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где k и b – некоторые действительные числа.

Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х.

Свойства:

1) Область определения – все действительные числа.

2) Множество значений – все действительные числа.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

5) Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пусть даны две линейные функции у = k₁ х + b₁и у = k₂ х + b₂. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k₁ ¹ k₂; параллельны, если k₁ = k₂; совпадают, если k₁ = k₂ и b₁ = b₂.

5. Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах² + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а ¹ 0.

Рассмотрим частный случай у = ах². Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х², и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)

График функции у = ах² можно получить из графика функции у = ах² сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1.

Свойства функции у = ах² (а > 0):

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений [0; +)

3) Функция четная.

4) Убывает на (–; 0), возрастает на (0; +).

5) График – парабола, проходящая через точку (0; 0).

6) Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.

График функции у = – х² получают из параболы у = х² путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.

Рассмотрим функцию у = ах² + bx + с.

ах² + bx + с = а(х² + х + ) =

Получим формулу вида у = а(х – т)² + п.

Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т = , п = .

Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз.

Свойства квадратичной функции у = ах² + bx + с:

1) Область определения – вся числовая прямая.

2) Множество значений: при а > 0 – , при а < 0–

3) Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.

4) При а > 0 убывает на (–;), возрастает на промежутке (; +); при а < 0 возрастает на промежутке (–;), убывает на промежутке (; +).

Примеры построения графиков квадратичных функций.

Первый способ.

Пусть требуется построить график функции у =х² + 4х + 5.

Выполним преобразования: х² + 4х + 5 = (х² + 8х + 10) = (х² + 8х + 16 + 10 – 16) = = (х + 4)² – 3.

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у =х².

Можно было воспользоваться формулами: х₀ = = = – 4; у₀ = = .

Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.

Пусть требуется построить график функции у = х² – 4х + 5.

Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х² – 4х + 5 = 5.

Имеем: х² – 4х = 0; х(х – 4) = 0, откуда х₁ = 0; х₂ = 4.

Точки А(0; 5) и В(4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).

Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть х₁ и х₂ = корни квадратного трехчлена ах² + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А(х₁; 0) и В(х₂; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х₀ = .