Предел числовой последовательности

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

ЛЕКЦИЯ№4

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение понятия «высказывания». 2. Какая функция называется мерным предикатом. 3. Сформулируйте определение операции отрицания. 4. Сформулируйте определение операции конъюнкции. 5. Сформулируйте определение операции дизъюнкции. 6. Сформулируйте определение операции импликации. 7. Сформулируйте определение операции эквивалентности. 8. Сформулируйте законы Аристотеля для операций для высказываний. 9. Запишите ассоциативный, дистрибутивный и коммутативный законы операций над высказываниями. 10. Сформулируйте определение теоремы и аксиомы. 11. В чем заключается метод от противного?

План

1. Предел числовой последовательности

2. Понятие функции

3. Предел функции

4. Основные свойства пределов

5. Замечательные пределы

6. Способы вычисления пределов

Определение 4.1. Если по некоторому закону каждому числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

(4.1)

Числа называются членами ряда, а член общим или -м членом ряда. Числовая последовательность называется заданной, если известен ее общий член , т.е. задана функция натурального аргумента.

Существуют числовые последовательности, как с конечным числом членов, так и с бесконечным.

В случае бесконечной числовой последовательности мы сможем определить вид любого ее члена, зная функциональную зависимость .

Определение 4.2. Последовательность называется:

a) ограниченной сверху, если все члены ее меньше одного и того же числа :

(4.2)

b) ограниченной снизу, если все члены ее больше одного и того же числа :

(4.3)

c) ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу:

(4.4)

Пример 4.1.

Приведем пример нескольких бесконечных числовых последовательностей:

2, 4, 6, …, 2, … (монотонная неограниченная)

(монотонная ограниченная)

1, 0, 1, 0, 1, … (не монотонная ограниченная)

(не монотонная ограниченная)

Всякая конечная последовательность, очевидно, ограничена. В качестве можно взять любое число, большее, чем наибольший из членов последовательности; в качестве – любое число, меньшее, чем наименьшее из членов последовательности.

Совсем по иному обстоит дело с бесконечными последовательностями. В данном случае возможны следующие варианты: числовая последовательность ограничена сверху, числовая последовательность ограничена снизу, также они могут быть неограниченными ни сверху, ни снизу.

Пример 4.2

Числовая последовательность является неограниченной, ни сверху, ни снизу.

Определение 4.3. Всякая точка, обладающая тем свойством, что в любой ее окрестности содержится бесконечное множество членов последовательности , называется предельной точкой этой последовательности.

Используя данный термин, можно сформулировать теорему Больцано-Вейерштрасса:

Теорема 4.1. Всякая ограниченная бесконечная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Заметим, что различные последовательности могут иметь то или иное количество предельных точек; существуют также последовательности, которые обладают бесконечным множеством предельных точек (например, последовательность из всех рациональных чисел, занумерованных произвольным образом). При этом предельная точка может как «принадлежать» данной числовой последовательности, т.е. входить в состав ее членов, так и не принадлежать ей.

Сформулируем понятие предела.

Определение 4.4. Если ограниченная последовательность имеет одну предельную точку, то эта точка называется пределом числовой последовательности.

Если же ограниченная последовательность имеет более одной предельной точки, то говорят, что последовательность не имеет предела.

Пример 4.3

Последовательность

(4.5)

имеет одну предельную точку 0 (рис. 4.1).

Пример 4.4

Последовательность

(4.6)

имеет две предельной точки -1 и 1 (рис.4.2).

Таким образом, из двух приведенных выше числовых последовательностей первая из них имеет предел, а вторая нет.

Приведем теперь классическое определение предела.

Определение 4.5. Постоянное число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер , что все значения _, у которых , удовлетворяют неравенству:

(4.7)

Для обозначения того факта, что – есть предел последовательности , применяется следующая запись:

(4.8)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Геометрический смысл понятия предела числовой последовательности состоит в следующем. Число – есть предел числовой последовательности, , если для любого найдется номер , начиная с которого (при ) все члены последовательности будут заключены в – окрестности точки . Поясним вышесказанное с помощью рис. 5.3.

2. Понятие функции

Пусть и – два непустых множества.

Определение 4.6. Функцией одной переменной называется правило, по которому каждому элементу некоторого множества соответствует единственный элемент другого множества .

– независимая переменная (аргумент),

– зависимая переменная,

– область определения функции,

– множество значений функции.

Функцию принято обозначать .

Существует несколько способов задания функции.

1. Аналитический способ. При таком способе задания функция с помощью аналитических выражений, т. е. с помощью формулы, указывающей какие действие надо совершать над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Пример 4.5.

2. Табличный способ. Составляется таблица, в которой указывается ряд значений аргумента и соответствующих значений функции.

3. Графический способ. Значения функции соответствующие тем или иным значениям аргумента непосредственно находятся из графика.

4. Описательный (словесный).

Пример 4.6. Функция, ставящая в соответствие числу ее целую часть: 2,5→2; 1,3→1 (пример словесного задания функции).

Основные элементарные функции, заданные аналитически:

1) Постоянная (константа) y=C.

2) Степенная функция y=xⁿ, где n – действительное число, отличное от нуля.

3) Показательная функция .

4) Логарифмическая функция .

5) Тригонометрические функции .

6) Обратные тригонометрические функции – , , , .

Элементарная функция – любая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий.

Определение 4.7. Сложной функцией (композицией двух или нескольких функций) называется функция вида: .

Пример 4.7. .