Квадратичные формы. Матрицы замены
Определение 18.1. Квадратичной формой от букв (переменных) называются F (
)= =
,(1) , где
R.Когда в (1) присутствуют слагаемые
, тогда их сумму можно записать в виде
, причем, очевидно,
. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что
.
Свойство 18.2. Если отождествить действительное число и матрицу
, тогда F (
) =
(2), где
,
, где
- коэффициенты квадратичной формы, матрица А симметрична. Матрица А симметрична по замечанию 18.1.
.
Пример 18.3. Квадратичная форма имеет матрицу A =
.
Квадратычная форма
имеет матрицу A =
.
Определение 18.4. Пусть переменные лин. выражены ч/з переменные
.
(3)
Если в F ( ) поставить значения у, то очевидно получается квадратичная форма F1(
). Говорят, что F1 получается из F с помощью замены
. Матрица Т наз. матрицей замены.
Свойство 19.6. Пусть дана F1( ) с матрицей А. Дана замена
, в результате которой получается F1(
) с матрицей В, тогда
. Доказательство: имеем
.
.
симметрична. Докажем это: Возьмем
,
■