Собственные числа самосопряженных операторов

Лемма 17.6. У любого линейного оператора вещественного пространства есть инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Доказательство: . Фиксируем произвольный базис. Оператор f в нем имеет матрицу . Рассматриваем этот многочлен как многочлен с комплексными коэффициентами. По основной теореме алгебры этот многочлен имеет корень . Если , то он соответствует некоторому и - пространство инвариантно относительно f. . Пусть . Рассмотрим систему линейных уравнений над полем комплексных чисел т.к. справа – действительная матрица, то . Рассмотрим векторы и , которые в этом же базисе, где брали матрицу А, имеют столбцы координат Х и Y, тогда АХ и АY – столбцы координат и в этом же базисе. . Рассмотрим линейную оболочку

- подпространство инвариантное относительно f. . ■

Свойство 17.7. Все собственные числа самосопряженного оператора - вещественные. Доказательство. От противоположного. Пусть f собственное число , где . Из доказательства леммы 17.6 следует,
что Г ненулевые векторы и : . ; ; ; . Но , получили противоречие. n

Теорема 17.8. f – самосопряженный оператор , тогда существует ортонормированный базис из собственных векторов f. Доказательство: ММИ по n. Если n=1, верно, т.к. любое линейное преобразование одномерного пространства есть умножение на скаляр. Пусть верно для n+1. . Возьмем произвольное собственное значение , которое соответствует . Известно, что - одномерное собственное пространство f. Рассмотрим по посылке индукции. - ортонормированный базис из собственных векторов f. Покажем, что разлагается в сумму векторов и вектора . - базис . Покажем это: разлагается по базису разлагается по . Значит система линейно независима и она является ортонормированным базисом из собственных векторов f. n

Св-во 17.9. Для любой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица Т такая, что - диагональная. Доказательство: Пусть . Рассмотрим . Фиксируем в нем . Рассмотрим оператор f, который в этом базисе имеет матрицу А. Базис ортонормированный. Матрица симметричная, значит линейный оператор самосопряжен (по 17.4.). По 17.8. существует ортонормированный базис из собствееных векторов оператора f, в котором оператор f имеет матрицу . Возьмем матрицу Т перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Т.к. оба базиса ортонормированных, то Т – ортагональная. n