Собственные числа самосопряженных операторов
Лемма 17.6. У любого линейного оператора вещественного пространства есть инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Доказательство: . Фиксируем произвольный базис. Оператор f в нем имеет матрицу
. Рассматриваем этот многочлен как многочлен с комплексными коэффициентами. По основной теореме алгебры этот многочлен имеет корень
. Если
, то он соответствует некоторому
и
- пространство инвариантно относительно f.
. Пусть
. Рассмотрим систему линейных уравнений над полем комплексных чисел
т.к. справа – действительная матрица, то
. Рассмотрим векторы
и
, которые в этом же базисе, где брали матрицу А, имеют столбцы координат Х и Y, тогда АХ и АY – столбцы координат
и
в этом же базисе.
. Рассмотрим линейную оболочку
- подпространство инвариантное относительно f.
. ■
Свойство 17.7. Все собственные числа самосопряженного оператора - вещественные. Доказательство. От противоположного. Пусть f собственное число , где
. Из доказательства леммы 17.6 следует,
что Г ненулевые векторы и
:
.
;
;
;
. Но
, получили противоречие. n
Теорема 17.8. f – самосопряженный оператор , тогда существует ортонормированный базис
из собственных векторов f. Доказательство: ММИ по n. Если n=1, верно, т.к. любое линейное преобразование одномерного пространства
есть умножение на скаляр. Пусть верно для n+1.
. Возьмем произвольное собственное значение
, которое соответствует
.
Известно, что
- одномерное собственное пространство f. Рассмотрим
по посылке индукции.
- ортонормированный базис из собственных векторов f. Покажем, что
разлагается в сумму векторов
и вектора
.
- базис
. Покажем это:
разлагается по базису
разлагается по
. Значит система линейно независима и она является ортонормированным базисом из собственных векторов f. n
Св-во 17.9. Для любой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица Т такая, что - диагональная. Доказательство: Пусть
. Рассмотрим
. Фиксируем в нем
. Рассмотрим оператор f, который в этом базисе имеет матрицу А. Базис ортонормированный. Матрица симметричная, значит линейный оператор самосопряжен (по 17.4.). По 17.8. существует ортонормированный базис
из собствееных векторов оператора f, в котором оператор f имеет матрицу
. Возьмем матрицу Т перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Т.к. оба базиса ортонормированных, то Т – ортагональная.
n