Самосопряженные операторы, их свойства, матрицы, собственные векторы, примеры.

Опр. 17.1. ε – Евклидово пространство. Оператор fÎEnd(ε) наз. Самосопряженным , если Îε .

Пример17.2.1. Очевидно, что тождественный оператор является самосопряженным. 2. В V2 рассмотрим оператор Pr x проектирования на ось Ox. Очевидно, что . Тогда , і . Таким образом, доказали, что Pr_x - самосопряженный оператор.

Св-во17.3. Когда f - самосопряженный оператор пространства ε, UÌε -является f-инвариантным подпространством, тогда ортогональное дополнение к U U ε ÎU является f-инвариантным подпространством.Доказательство. Сначала докажем, что U - подпространство в ε. U , R, U , значит, U . По критерию подпространства следует, что U - подпространство в ε. Т.к. U, . Из самосопряженности оператора f следует, что , значит ÎU і U является f-инвариантным подпространством.n

Св-во 17.4.Если линейный операторf–самосопряженный оператор пространства ε,А–его матрица в ортонормированном базисе, тогда А=А^Т (1).Матрицы, которые удовлетворяют равенству (1) называются симметричными. Доказательство. Фиксируем произвольный ортонормированный базис в ε. Пусть в этом базисе f мои матрицу А, произвольные векторы и имеют столбцы координат X и Y. Тогда векторы и имеют столбцы координат AX и AY. По свойству 14.7 =(AX)^TY =X ^TA ^TY, і =X ^TAY. С самосопряженности f следует, что X ^TA ^TY=X ^TAY. Так как X и Y - произвольные столбцы, из последнего равенства по лемме 15.6 следует, что A^T=A.n

Св-во17.5. Когда и - собственные векторы самосопряженного оператора f, которым соответствуют неровные реальные собственные значимости і , тогда векторы и взаимообратные.

Доказательство. Так как f – самосопряженный оператор, , , . По условию , значит, .n