Характеристические многочлены и собственные числа
Инвариантные подпространства. Собственные векторы. Простейшие свойства
Азн.16.1. fÎEnd(V). Подпространство U пространства V называется инвариантной относительно f (или f - инвариантной), когда 
ÎU 
ÎU (1)
Прыклад 16.2.1. V=V2, prx – проекция на ось Ox. U1=R 
R} - инвариантная относительно prx подпространство, так как 
R, 
U1. U2=R 
R} - также инвариантные относительно prx подпространство, так как 
R, R 
U2. R U2.
16.2.2. V=V3, f – поворот вокруг оси Oz на угол 
. f- инвариантными являются UzіUxoy - просторо векторов плоскости xOy.
16.2.3. Для оператора D деференцирования пространства P[x] для произвольного натурального n пространства
Pn[x] является D-инвариантными.
16.2.4. Для произвольного fÎEnd(V) подпространства 
і V являются f - инвариантными. Они называются тривиальными.
Св-во 16.3 Когда fÎEnd(V), U1 и U2 f - инвариантные подпространства, тогда U1 
U2 также f- инвариантное подпространство. Доказ. Рассмотрим 
U1 U2. То U1 откуда следует, что 
ÎU1. Аналогично, ÎU2, ■
Азн. 16.4.Ненулевой вектор 
ÎV называется собственным вектором оператора fÎEnd(V), когда существует 
ÎP такой, что f 
. При этом говорят, что - собственная значимость линейного оператора f, которое соответствует вектору 
.
Прыклад 16.5.У линейного оператора prx линейного пространства V2 вектор 
является собственным из собственной значимостью 1, поскольку 
. Т.к. 
, вектор 
- собственный, которому соответствует собственная значимость 0.
Св-во 16.6.Когда 
- собственный вектор линейного оператора fÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость ÎP, тогда для произвольного 
ÎP\{0} вектор 
также является собственным вектором оператора f, которому также соответствует собственная значимость . Доказ. По условию 
. Тогда очевидно, что 
і 
.■
Вынік 16.7Когда - собственный вектор линейного оператора fÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость , тогда подпространство P ={ 
ÎP} является f-инвариантной и каждый ненулевой вектор этого пространства является собственным вектором этого пространства является собственным вектором f, которому соответствует собственная значимость 
. Доказ. Следует из 17.6 и того, что f 
.■
Азн. 16.8 Пусть 
(3) -базис пространства V, fÎEnd(V) і А= 
– матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномамfназывается полином
(4).
Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, fÎEnd(V) і А= – матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномамfназывается полином
(4).
Св-во 16.9 Характеристические многочлены сопряжены, матриы равны. Доказ. Пусть 
■
Св-во 16.10.Определение 16.8. корректно, т.е. характеристический многочлен эндоморфизма не зависит от того, в каком базисе взята его матрица. Доказательство: Если fÎEnd(V), в базисе (1) имеет матрицу А, в 
имеет матрицу В и Т – матрица перехода от базиса (1) к новому базису, то . по 16.9.: 
■
Т. 16.11. Скаляр
является собственным значением эндоморфизма fÎEnd(V) 
. Доказательство: 
- собственное значение f. 
. Фиксируем какой-нибудь базис (1). В нем f имеет матрицу А, а 
имеет ненулевой столбец координат 
. 
. Рассмотрим систему 
. Она однородна и имеет ненулевое решение - . 
. Обратно: пусть 
. Фиксируем базис (1). Пусть А – матрица f в этом же базисе. Рвссмотрим систему 
. Она однородна. Ее определитель равен 
, значит система имеет не только нулевое решение. Пусть - ненулевое решение. Рассмотрим , который в базисе (1) имеет мтолбец координат , тогда 
, 
Равенство этих столбцов соотв. равенству столбцов координат и равенству векторов. 
значит - собственный вектор оператора f, которому соотвествует собственное значение . ■
Следствие 16.12: Пусть dimV=n. fÎEnd(V) и в базисе (1) имеет матрицу А. Если - собственное значение f, то оно соответствует векторам , столбцы координат которых в базисе (1) являются ненулевым решением системы 
. Доказательство: доказано в 16.11. ■