Сумма линейных операторов и ее свойства
Опр. 15.1. Путь f1 і f2 линейные операторы V, тогда их суммой называют отображение
V 
V 
(2)
Св-во 16.2.Сумма линейных операторов является линейным оператором. Док-во. Используем теорему о критерии линейности: 
V P 
(в первой и последней равенствах использовали определение 16.1, а во второй - теорему 8.3). ■
Св-во15.3.Когда линейные операторы f1 и f2 имеют в базисе (1) матрицы A1 и A2, тогда линейный оператор f1+ f2 мои в этом базисе матрицу A1+ A2. Док-во. Пусть произвольный вектор 
, векторы 
имеют в базисе 
(1) соответствующие столбцы координат . Х, 
. Тогда 
; 
. По определению 15.1 
. Отсюда следует, что 
. Из замечания о единственности матрицы линейного оператора следует, что 
– матрица линейного оператора 
в базисе (1).■
Св-во.15.4.Множество End(V) с операцией сложения лин. операторов явл. аддитивной(+/-), коммутативной группой. Доказательство: 1) Докажем ассоциативность операции сложения (1).: 
V 
ÎEnd(V) 
Так как – произвольный, доказали равенство отображений: 
. 2) Докажем коммутативность сложения операторов: V 
End(V) 
, значыцца, 
.
3) Очевидно, что нулевое отображение 
V V 
принадлежит End(V) и является нейтральным относительно сложения элементов в End(V): V 
ÎEnd(V) 
. Отсюда следует 
. 4) Докажем, что для произвольного fÎEnd(V)отображение (–f):V V 
является линейным оператором, и что 
. 
V 
P 
Значит, 
End(V). V, 
, из чего следует, что 
.■
Св-во. 15.5.Когда dim(V)=n, тогда End(V) и Mat(n n;P) являются изоморфными аддитивными группами.
Доказательство. В свойства 11.4 доказали, что когда фиксированный базис (1) в V, то сущнствует биективное отображение F: Mat(n´n;P) End(V). Из свойства 15.3 следует , что "A1,A2Î Mat(n´n;P) F(A1+A2)= F(A1)+F(A2), таким образом, F - изоморфизм аддитивных групп End(V) і Mat(n´n;P).■