Ортогональные операторы, матрицы и системы векторов

Св-во 14.11: Линейный оператор в Евклидовом пр-ве ортонормирован тогда и только тогда, когда он переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис. Доказательство: Пусть fортогонален. - ортонормированный базис. - ортонормированный базис. f– ортогонален, значит сохраняет норму. . fсохраняет угол, значит векторы попарно ортогональны. Тогда они линейно независимы, значит линейное пространство образует базис. Обратно: пусть - ортонормированный базис. - ортонормированный базис. Пусть имеют столбцы координат Х и Y. Тогда имеет столбец Х в базисе . Аналогично имеет Yв том же ортонормированном базисе. Получим ■

Св-во 14.12. Композицияортогональный отображений ортогональна отображению. Доказательство: ■

Св-во 14.13. Матрица А является ортогональной тогда и только тогда, когда . Доказательство: , - ортогональная. ■

Следствие 14.14. Оперделитель ортогональной матрицы равен 1 или –1. Доказательство: Возьмем (*). ■