Ортонормированный базис евклидова пространства.
Азн. 13.8.Базіс 
(2)n-мерного евклидового пространства называется ортонормированным, когда он ортогональный и все его векторы нормированные, то есть 
.
Тэарэма 13.9.Базис (2) евклидового пространства εn является ортонормированным тогда и только тогда, когда ортогональное достояние произвольных векторов 
, которые в этом базисе имеют координаты 
, грядет равный: 
(3). Доказ:Если - ортонормированный, тогда по 14.2 
. Пусть правдиво (3). Тогда поскольку 
в базисе (2) мои координаты (1,0,0,...,0) получаем что: 
.
Откуда 
=1. Аналогично 
. Когда 
з (3)следует, что 
, то (2) – ортонормированный базис .■
Тэарэма 13.10.В каждой конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказ: В евклидовом пространстве εn существует базис 
. Идея доказательства в том, чтобы построить постепенно посредством этого базиса ортогональный базис 
Возьмем 
. Очевидно, что 
. Будем искать 
в виде = 
ÎR. Из условия ортогональности следует, что 0=( 
)=( 
)= 
. Но , последнее равенство эквивалентно тому, что 
. Таким образом, нашли такой, что ( )=0. Заметим, что векторы 
получили из векторов 
посредством элементарных преобразований. По 14.5 ранги систем векторов і равные, то 
. Когда построили систему ненулевых попарно ортогональных векторов
і 
< 
, тогда вектор 
будем искать в виде: 
. Рассмотрим 
( 
)=( 
. Условие попарной взаимоортогональности векторов 
, 
эквивалентная тому, что 0=( 
)+ 
, поскольку 
, последнее равенство эквивалентно тому, что 
Таким образом, получаем систему попарно ортогональных векторов 
. Остается заметить, что последняя система получается из системы 
посредством элементарных преобразований, значиться их ранги равные 
, і 
. Таким путям мы получим систему попарно ортогональных векторов 
, ранг какой равный n, из чего следует, что эти векторы образовывают ортогональный базис пространства 
. Исходя из базиса , рассмотрим векторы 
. То 
. Па 12.9 
, значит векторы 
образовывают ортонормированный базис.■
Св-во 13.11. Когда 
- ортонормированный базис εn, 
, то 
. Доказ: 
. Из условия ортонормируемости следует, что 
.■
Св-во 13.12.Когда 
- ортонормированный базис εn, векторы 
имеют в этом базисе столбцы координат X и Y соответственно, тогда 
. Доказ. 
, что по 14.4 ровно 
. ■