Ортогональные векторы и ортогональный базис.
Геометрические теоремы в евклидовых пространствах
Т 12.16.Т-ма косинусов в Евклидовомпростр-ве 
Доказательство: 
.■
Теорема 12.17. (Неравенство треугольника в Евклидовом пространстве.) 
. Доказательство: Докажем правую часть неравенства:
. Докажем правую часть неравенства: 
; 
; 
.
При доказательстве два раза использовали неравенство Коши-Буняковского.■
Теорема 12.18. (свойство паралелограмовв Евклидовом пространстве) 
. Доказательство: 
■
Тэарэма 13.5.(Теорема Пифагора в евклидовом пространстве) Когда 
, 
ортагональные векторы евклидового пространства, то 
.
Доказательство: 
.■
Опр.13.1.Вектары
евклидового пространства называются ортогональными, когда ( )=0.
Св-во 13.2.В Евклидовом пространстве ε: 1. Нулевой вектор и только он ортогональное само сам;
2. Нулевой вектор и только он ортогональный всем векторам; 3 . Когда векторортогональный векторам 
,тогда он ортогональный произвольной их линейной комбинации. Доказательство:
1) Когда = 
, то по 12.7.1 ( , )=( 
)=0; а когда ≠ , то по 12.7.4 ( , )>0. 2) Когда =0, то 
по 12.7.1 ( , )=( 
, )=0; а когда ≠ , то по 12.1.4 ( , )>0. 3) Когда 
, то 
ÎR по 12.3 имеем 
.■
СВ-во 13.3.Ненулевые векторы ортогональные тогда и только тогда, когда угол между ними равный
.
СВ-во 13.4.Если
попарно ортогональные ненулевые векторы Евклидового пространства , тогда они линейно независимые. Доказа:Пусть 
, то: 
; 
; 
; 
. По условию 
, то по 12.1 ( , )>0, откуда 
. Аналогично доказывается, что 
. ■
Тэарэма 13.5.(Теорема Пифагора в евклидовом пространстве) Когда , ортагональные векторы евклидового пространства, то .
Доказательство: .■
Опр. 13.6.Базис в Евклидовом пространстве наз. ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.
Тэарэма13.7.Пусть векторы 
евклидового пространства 
имеют координаты 
соответственно, то 
. Доказ. Т.к 
, тогда 
. Т.к. базис ортогональный, 
, то: 
. ■