Евклидовы пространства. Определение и свойства
Опр. 12.1.V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (· ; ·) :V´V 
R, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) 
ÎV ( 
; 
)=( ; ) (условие симметричности),
2) 
ÎV ( + ; 
)=( ; )+( ; ), 3) 
ÎR ÎV ( ; )= ( ; ), 4) 
ÎV ( ; )>0 , если 
. Простанство V, в котором заданно скалярное достояние, называется Евклидовым пространством. Если dim RV=n, тогда записывают V=εn.
Пример 12.2.1) V2 со скалярным произведением , который изучался в курсе геометрии: когда = 
+ 
, = 
+ 
( ; )= + является Евклидовым пространством. 2) С[a;b]- множество неразрывных на [a;b] функций. Если f, gÎС[a;b], обозначим (f, g)= 
. Проверьте, что на С[a;b] заданное скалярное произведение, таким образом, С[a;b]- евклидово пространство.
Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Îε ( ; )=( ; )= ;
2) Îε ( ; + )=( ; )+( ; ); 3) Îε ÎR ( ; )= ( ; );
4) 
Îε, 
ÎR ( 
; )= 
( 
; );
5) 
Îε 
ÎR ( ; 
)= 
( ; 
).
Доказ.1) ( ; )=( ;0 )=0( ; )=0 2) ( ; + )=( + ; )=( ; )+( ; )=( ; )+( ; )
3) ( ; )=( ; )= ( ; )= ( ; ). 4) ММІ па п. п=1 ( 
; )= 
( ; ) па 12.1.3.
п=2 ( + 
; )=( ; )+( ; )= ( ; )+ ( ; ). Если справедливо для п, рассмотрим п+1. ( 
= 
)+( 
; ) = ( ; )+ ( ; ) = 
( ; ).
5) ( ; )= ( ; )= ( ; ) = ( ; )= ( ; ).■
Св-во 12.4. Пусть Е- Евклидово пространство, U – его линейное подпространство, тогда U со скалярным произведением, определенным на Е, явл. Евклидовым пространством.
Доказательство. Очевидно из определения 12.1. ■