Линейные операторы и их матрицы

Азн. 10.6. Когда V- линейное пространство над над Р, а f: V V - линейное отображение, тогда f называется линейным оператором, эндоморфизмам пространства ли V. Множество эндоморфизмов пространства V обозначается End_P(V), или End(V).

Опр. 10.7. Пусть (1) - базис V, End(V) – множество всех изоморфизмов V. fÎEnd(V), тогда матрица системы векторов в базисе (1) наз. матрицей оператора f в базисе (1).

Пр. 10.8. 1) D: : . Эндоморфизм D в базисе 1, x, x² имеет матрицу А= . 2) Эндоморфизм – поворот около пункта 0 на угол , в базисе имеет матрицу . 3) Найдем матрицу этого же эндоморфизма в базисе : ; . В итоге, эндоморфизм в базисе имеет матрицу .

Св-во 10.9. Пусть f – линейное преобразование пространства в V. (1) – базис в V, тогда каждому fÎEnd(V) соотвествует матрице - матрица f в базисе (1) и наоборот, каждой матрице А соответствует единственный линейный оператор fÎEnd(V), для которого А – его матрица в базисе (1). Доказательство: частный случай 10.3. n

Св-во 10.10. Пусть (1) – базис линейного пространства V, fÎEnd(V), - матрица линейного оператора f в базисе (1). Если вектор V в базисе (1) имеет столбец координат Х, а f(v) имеет столбец координат Y, то Y=AX. Доказательство: частный случай 10.4. n

Пример 10.11. :V₂ V₂, найти ( ), где = . Решение 1. Поскольку ( )= ; ( )= - , то ( ) = ( )= =3 ( )+4 ( ) =3 +4( – ) = – 4 +3 . Решение 2. В базисе , оператор имеет матрицу А= , а вектор имеет столбец координат Х= . ( ) в базисе , имеет столбец координат Y=АХ= × = . – 4 +3 . Какие координаты имеет вектор ( ) в базисе
= , = + ? Решение 1. Достаточно найти координаты вектора -4 +3 в базисе , . Это можно сделать по определению координат вектора в базисе: –4 +3 = х +у , –4 +3 = х +у( + ), –4 +3 = (х+у) +у . Поскольку , - базис, , то, и . Решение 2. = Х= × = . Оператор имеет в базисе , матрицу В= . Тады =В = × = .

Лемма 11.7. Пусть матрицы С, DÎMat(m´n,P) такие, что для произвольного столбца ХÎMat(n´1,P) СХ=DX, (3) тогда С=D. Доказательство. Когда Х= , из равенства (3) очевидно получается, что в матрицах С и D первые столбцы равные. Когда Х= , получаем равенство вторых столбцов матриц С и D. Все соответствующие столбцы матриц С и D равные, значит С=D. n

Теорема 10.13. Пусть (1) и - базисы пространства V, Т – матрица перехода от (1) к (4). fÎEnd(V),
f имеет матрицу А в (1), f имеет матрицу В в (4), тогда В = Т ^–1 А Т. Доказательство: Пусть имеет столбец координат По 10.10. n

Опр.10.14. Квадратная матрица наз. сопряженной с помощью матрицы S, если .

Следствие 10.15. А, В сопряжены тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того линейного оператора в разных базисах. Доказательство: То, что матрицы одного линейного оператора в разных базисах сопряжены, доказано в 10.13. Обратно. Пусть А, В сопряжены. Рассмотрим произвольное линейное пространство V над Р dimV=n, - произвольный базис V, тогда по 10.9. есть линейный оператор fÎEnd(V), который в этом базисе имеет матрицу А. Рассмотрим - базис, который в исходном базисе имеет матрицу S. По условию матрица S невырождена, тогда - базис V. По 10.13. f имеет матрицу. n