Изоморфизм конечномерных пространств и системы векторов

Св-во 9.8. Пусть f: V→U - изоморфизм линейных пространств. Система векторов линейно зависима когда -линейно зависима в U. Доказательство: Т.к. f линейно, то по св-ву (Гомоморфный образ линейнозависимой системы векторов является линейно зависимая система векторов.) из линейной зависимости первой системы следует линейная зависимость второй. Но f – изоморфизм, то по св-ву
f ^–1: U → V линейно. Из линейной зависимости следует зависимость .n

Следствие 9.9. Пусть f: V→U - изоморфизм, тогда система векторов и либо обе линейно зависимы, либо обе линейно независимы. Доказательство: Доказано в предыдущем n

Следствие 9.10. Если f: V→U - изоморфизм, то ранги обеих систем из утверждения 9.9. равны. Доказательство: Очевидно из 9.9., что f(МЛНП) отображается в МЛНП. n

Следствие 9.11.: Пусть f: V→U - линейное отображение, - базис V, f является изоморфизмом, тогда и только тогда, когда - базис V. Доказательство: Пусть f – изоморфизм, то по 9.9. из линейной независимости системы векторов следует линейная независимость . , т.е. эти векторы образуют полную систему. Наоборот Пусть - базис U. . Пусть , тогда - столбцы координат векторов в базисе , то столбец . Из того, что что противоречит допущению. Сюрьективность: . Разложим его по базису . Рассмотрим – биекция. n

Следствие 9.12. Пусть f: V→U - линейное пространство над P. и - базисы V и U соответственно, тогда существует единственный изоморфизм f: V→U . Доказательство: Задание линейного отображения f( V ) →U доказано в ранее. Единственность также. Так как - базис в U, то по 9.11. f – изоморфизм. n