Линейные отображения. Определение, примеры, простейшие свойства

Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений

Опр. 7.11.4.Фундаментальной системой решений однородной системы наз. базис пространства ее решений (как подпространство в Pn).

Св-во 7.11.5. Если в (4) поочередно каждому придавать значение единицы, а остальным нули, то получим фундаментальную систему решение. Доказательство. Перепишем (4) в виде . Заметим, что - решение (1), если взять . Столбец – если взять . Столбец – если взять . Все решения системы (1), т.е. векторы из V, линейно выражаются ч/з , , …, , т.е. эта система векторов полна. Рассмотрим в этих столбцах последние (n–r) элементов легко увидеть, что эти столбцы лин. независимы, т.е. они составляют базис V. ■

Следствие 7.11.6. Размерность пространства решений системы (1) равна числу свободных переменных. Доказательство: доказано в 7.11.5. ■


Азн.8.1. Пусть V, U -линейные пространства над P. Отображение f: V→U(1) называется линейным (гомоморфизмом линейная пространства), когда1) ; 2) .

Примеры: 1. V=R2, U=R1[x], f :V U: . 2. Поворот плоскости кругом пункта О.

3. Нулевое отображение f : . 4. Тождественное преобразование

Св-во 8.2. Когда f :V U - линейное отображение, тогда: 1) ; 2) V ; 3) P, V . Доказательство. 1) .
2) . 3) ММИ по n. 1) n=1 – это 8.1.2.
2) n=2 . Если св-во справедливо для n, то

■

Теорема 8.3. ( Критерий линейности отображения) V, U-линейные пространства над P. Отображение f: V→U является линейным тогда и только тогда, когда P, V (2)

Доказательство. 1) Когда f - линейное, тогда (2) следует из 8.2.3. 2) Пусть исполняется (2), возьмем , тогда , значиться исполняется 8.1.1. Возьмем : (по 8.2.1), значит исполняется 8.1.2. Таким образом, f - линейное отображение.■

Теорема 8.4. V, U -линейные пространства над P. dimV=n, - произвольный базис V. Задание линейного отображения эквивалентно заданию образов элементов базиса , , . . . , . Доказательство. 1) Когда задана линейное отображение, тогда задан .

2) Пусть заданный . Надо задать линейное отображение. определяется в виде (поскольку - базис). Укажем отображение .

Докажем, что F - линейное отображение, и . Начнем доказательство из конца. , , , . Докажем, что F - линейное. Проверим 8.3. Для произвольных векторов и скаляров , , .■