Матрица системы векторов. Определение и свойства.

Пример 6.0. Рассмотрим пространство V₂ и ее привычный базис , . Векторы =+2, =3+4 - неколлинеарные, значит они линейно независимые и образовывают базис V₂. Вектор v=2+6- столбец координат X= в базисе , .. Найдем его координаты y_1, y₂ в базисе _, .. По определению y_{1 +}y₂ = , откуда y₁( +2 )+y₂(3+4 )= 2+6 ,или (y₁+3y₂)+ (2y₁+4y₂)= 2+6 .Поскольку , - базис, значит , из чего следует, что , откуда получаем ответ: Y= .

Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dimV=n, данный базис V, ,(1) и произвольная система векторов (2) . Пусть "i = + +… + = (3). Матрица А=( )_n´m называется матрицей системы векторов (2) в базисе (1). Внимание! Матрица системы векторов записывается по столбцам.

Пример 6.2. V_2. – базис. В этом базисе система векторов ; ; имеет матрицу A= . Система векторов в этом базисе моей матрицу , а система векторов ; - матрицу T= . Св-во 6.3. Матрица базиса относительно себя единичная.

Опр. 6.4. Пусть (1) и , ,…, (4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)

Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А=( ) - матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В=( ), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i=j , тогда , а когда i≠j , j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B=Е_n. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные.■

Вывод.6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B=Е_n (5) – единичная матрица, значит, что В=А^–1, А=В^–1.■

Тогда , значит, , и C=A×Y. ■