Координаты вектора в базисе. Определение и свойства

Св-во 5.9. Пусть _{, ,. . . ,} (1) - базис пространства V. Каждый вектор ÎV единственным образом раскладывается по базису, то есть существует единственная последовательность l_1, l_{2, …,}l_nÎPтакая, что
=l₁ +l₂ + _{. . .} +l_n (3) . Доказательство. Существование очевидно из условия полноты. Докажем единственность. Пусть =m₁ +m₂ + _{. . .} +m_n , тогда l₁ +l₂ + _{. . .} +l_n =m₁ +m₂ + _{. . .} +m_n ,значит
(l₁ – m₁) + (l₂ – m₂) + ... + (l_n – m_n) = . Из условия линейной независимости получаем, что
l₁=m_1, l₂=m_{2, ... ,} l_n=m_n.■

Опр. 5.10. Упорядоченная n-ка (l₁;...;l_n)из расписания (3) называется координатами вектора в базисе (1). Координаты вектора записывают в строчку (l₁;...;l_n)в ли столбец .

Св-во 5. 11. Когда вектор имеет в базисе (1) столбец координат X= ,тогда "lÎR,вектор l имеет в (1) столбец координат lC= . Доказательство. По условию, = x₁+x₂+ ... +x_n, откуда l=lx₁+lx₂+...+lx_n .■

Св-во 5.12. Когда в базисе (1) вектор имеет столбец координат X= а вектор имеет столбец координат Y= , тогда + имеет в этом базисе столбец координат X+Y. Доказательство. По условию,=x₁ +x₂ + ... +x_n , =y₁ +y₂ + ... +y_n . Тогда, + = (x₁ + x₂ + ... + x_n ) + ( y₁ +y₂ + ... +y_n ) =
= (x₁ + y₁ ) + (x₂ +y₂ ) + ...+ (x_n + y_n ) = (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) +...+ (x_n + y_n) . ■

В. 5. 13. Когда в базисе (1) векторы ( )имеют столбцы координат X_i,, тогда "l_iÎPвектор имеет столбец координат . (Доказательство. ММИ по m.■)