Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства

Азн. 5.1. Система векторов линейного пространства V над P _{, ,. . . ,} (1) называется базисом пространства V, когда исполняются 2 условия:

1) система (1) линейно независимая; 2) (условие полноты) " ÎV $l_1, l_2,…,l_nÎP =l₁ +l₂ + _{. . .}+l_n .

Азн. 5.2. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V над P. То, что пространство V имеет измеримость n обозначается n=dim_pV, либо n=dimV.

Св-во. 5.3. Определение 5.2. корректное, то есть, что когда (2) и (1) - базисы V, тогда k=n. Доказательство. Все пространство выявляется через (1), значиться, (2) выявляется через (1), но (2) - линейно независимая, значиться (по 3.11) k £ n. Аналогично, n £ k, значиться, k=n.■

Примеры. 1. Rⁿ. Стандартный базис = , = , ..., = . Значит, dim_R Rⁿ =n.

2. R_n[x]. Базис 1, x, …, xⁿ , значиться, dim _R R_n [x]=n+1.3. V_2.. Произвольные 2 некалінеярныя векторы образовывают базис, dim _R V₂=2.4. V₃. Произвольные 3 некампланыя векторы образовывают базис, dim _R V₃=3.5. V={ }.По определению считаться, что dim_P{ }= .

Св-во 5.4. Когда dimV=n, тогда каждая линейно независимая система векторов из V удерживает не более n векторов. Доказательство. Пусть (1) - базис V, - - линейно независимая система. По условию полноты она выявляется через базис, значиться, по 3.11, k £ n.■

Св-во 5.5. Произвольная минимальная (по количеству векторов) полная система векторов

образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - полная система векторов и минимальная. Надо доказать, что (2) - линейно независимая. От противного. Когда (2) - линейно зависимая, тогда, (по 2.13) существует вектор из (2), который выражается через остальные, скажем,. Тогда " ÎVвыражается через (2), а (2) выражается через .. Из этого (по 3.3) следует, что выражается через _,, значиться получили меньшую за минимальную полную систему векторов, что противоречить посылке.■

Св-во 5.6. Произвольная максимальная (по количеству векторов) линейно независимая система векторов образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - такая система. Надо доказать условие полноты: " ÎV система - линейно зависимая (из максимальности), тогда по 3.4 выражается через (2).■

Следствие 5.7. Если dim_PV=n, то любая линейно независимая система n векторов пространства V является базисом V. Доказательство.Возьмем систему из 5.5, значит она максимальна по числу векторов, а это значит из 5.6, это базис.