Подпространства. Определение, примеры, критерий подпространства

Опр. 7.1. Пусть V линейное пространство над полем Р. Непустое подмножество U Vназывают подпространством пространства V, когда U является линейным пространством относительно операций, какие указанный в V.

Теорема.7.2.(Критерий подпространства). V линейное пространство над Р. Подмножество U Vявляется подпространством в V тогда и только тогда, когда выполняются 3 условия: 1) U≠Ø; 2) Для каждых и U + U;3) Для произвольного λ Р и для произвольного Uλ U. Доказательство. Когда U линейное подпространство, тогда 1), 2) и 3) очевидно выполняются. Пусть выполняются свойства 1), 2), 3). Тогда U≠Ø.

1.1.0 следует из 2). 1.1.1 выполняется, так как выполняется для произвольных элементов из V.

1.1.2 0 = , значиться по 1.8 U. 1.1.3 По 1.9 (-1) = - , значит по 3) - U.

1.1.4 выполняется, так как выполняется для произвольных элементов из V. 1.1.0` следует из 3).

1.1.5-1.1.8 выполняются, так как выполняются для произвольных элементов из V и из Р.■

Эти свойства: 1) " , , ÎV ( + )+ = +( + ); 2) $ ÎV, что " ÎV + = + = ;
3) " ÎV $ (- ) ÎV такой, что +(- )= (- )+ = ; 4) " , ÎV + = + ;

0’) Задана операция внешнего умножения скаляров (элементов из Р) на векторы (элементы из V) (то есть, что "lÎP, " ÎV, указанный вектор l ÎV); 5) "l, m ÎP " ÎV (l×m) =l(m );

6) "l, m ÎP " ÎV (l+m) =l +m ;

7) "lÎP " , ÎV l( + )=l +l ;

8) " ÎV 1 = .

Пример. V=Mat{m×n|R}, U={A V| a₁₁=0} является подпространством в V.

Пример: P[x] – линейное пространство, P_n[x] - линейное пространство, P_n[x] P[x]

Пример: