Пример 2.8.

2.8.1. В V2 произвольная система из 2-х неколлинеарных векторов линейно независимые.

2.8.2. В V3 произвольная система из 3-х некомпланарных векторов линейно независимые.

2.8.3. В C[a; b] система векторов 1, sin²x, cos²x - линейно зависимые, так как (-1)×1+1×sin²x+1×cos²x=0.

2.8.4. В Pⁿ система векторов ₌ , ₌ , … , = - линейно независимая.

Св-во 2.9. Когда система векторов удерживает , тогда она линейно зависимая.

Доказательство. 1+ 0+ … +0=.■

Св-во 2.10. Когда система векторов удерживает линейно зависимую подсистему, тогда она линейно зависимая.

Доказательство. Без потери общности можно считать, что первые s векторов системы образовывают линейно зависимую подсистему l₁+…+l_s= , где не все l_і=0. Из этого равенства очевидно, что l₁+…+l_s+ 0 + … +0= ,где не все коэффициенты равные нолю, значиться, система линейно зависимая. ■

Вывод 2.11. Когда система векторов линейно независимая, тогда произвольная ее подсистема линейно независимая. Доказательство. Следует из 2.10 доказательствам от противного■

Опр.2.12. Будем говорить, что линейно выражается через (1), $ l₁, l₂,…, l_nÎR такие, что =l₁ +l₂ +…+l_{n .}

Св-во 2.13. Пусть . Система линейно зависимая тогда и только тогда, когда один из ее векторов линейно выражается через остальные векторы этой системы.

Доказательство. 1) - линейно выражается через , . линейно зависимая система . 2) Наоборот. Пусть - линейно зависима. не все коэффициента равны нулю. Пусть . значит - линейно выражается через остальные. ■