Линейно зависимые системы векторов. Критерий линейной зависимости

Опр.2.1. V - линейное пространство над P. Системой векторов называют конечную последовательность векторов , ,…, (1)

Опр.2.2. Подпоследовательность , ,…, (2) последовательности (1), где 1£i₁<i₂<…<i_k£nназывается подсистемой системы векторов (1).

Опр.2.3. Пусть дана система и последовательность l₁, l₂, …, l_n (3) скаляров (элементов из P). Тогда линейной комбинацией системы с коэффициентами (3) называется вектор из V l₁ +l₂ +…+l_n(4) и - называются коэффициентами линейной комбинации (4).

Опр.2.4. Линейная комбинация (3) называется тривиальной, когда все ее коэффициенты равные нолю.

Св-во 2.5. Тривиальная линейная комбинация произвольной системы векторов равная .

Доказательство. Следует из 1.8 и п.2 определения 1.1. ■

Опр.2.6. Когда только тривиальная комбинация системы равная , тогда система называется линейно независимой.

Св-во 2.6. Система векторов является линейно независимою тогда и только тогда, когда из того, что l₁+…+l_n= следует, что l₁= l₂= …=l_n=0.

Доказательство. 2.6 , по сути дела, является переформулировкой 2.6. из учетом 2.5.■

Опр.2.7. Система называется линейно зависимою, когда она не является линейно независимою.

Св-во 2.7 . Система является линейно зависимою тогда и только тогда, когда существуют l₁, l₂, …, l_n ÎP не все равные нолю такие, что l₁+…+l_n=.

Доказательство. Это переформулировка 2.6. и 2.7. ■