Формула Грина.

Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.

Пусть в плоскости xoy задана правильная область D в направлении оси oy.

Такая область D ограничена линиями: x = a, x= b,

y y₁(x), y=y₂(x) ,

причем a < b, y₁(x) ≤ y₂(x)

Тогда площадь области D равна

Но , т.к. y = y₂(x) есть уравнение кривой MPN

, т.к. y = y₁(x) есть уравнение кривой MQN

Положительным считается направление против часовой стрелки, поэтому

(1)

Аналогично можно показать, что (2)

Из равенств (1) и (2) окончательно получим

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости xoy задана правильная в направлении оси oy

область D.

D: x = a, x = b, причем a < b

y=y₁(x), y=y₂(x) y₁(x) ≤ y₂(x)

В области D заданы непрерывные функции P(x, y), Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные.

Рассмотрим интеграл

Представим его в виде двукратного

(1)

(2)

(3)

Подставляя равенства (2) и (3) в равенство (1) получим:

т.е. (4)

Аналогично (5)

Вычитая из (4) равенство (5) получим

Меняя направление интегрирования, получим

Это и есть формула Грина (английский физик и математик)

Пример (Б.3822) Вычислить ,

где L: .

Воспользуемся формулой Грина

P

Вычислим полученный двойной нтеграл в полярных координатах

L :