Свойства двойного интеграла.

Двойной интеграл в декартовой системе координат (ДСК).

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лекция 12

Дополнительная

Основная

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое точка экстремума?

2. Как находится экстремум функции двух переменных?

3. Что такое условный экстремум?

1. Дмитрий Письменный, Конспект лекций по высшей математике. М., АЙРИС ПРЕСС,2007.600с.

2. Данко П.Е., Попов Л.Г., Кожевникова Т.Е., Данко С.И. Высшая математика в упражнениях и задачах. 2006.-187с. ООО Изд. Мир и образование.

1. Зайцев И.А, Высшая математика, М, Высшая школа, 1991, 400с,

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П, Краткий курс высшей математики. М., Наука, 1984. 624с.

Определение. Двойным интегралом от непрерывной функции f(x,y) по ограниченной замкнутой области D, расположенной в плоскости ХОУ, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы

,

где .

1)

2)

3)Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7) .

8) Оценка двойного интеграла. Если , то , где S – площадь области D, m и M соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в области D.

12.2 Вычисление двойного интеграла.

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

Рисунок 1.

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то